Repetitorium (Aufgaben zur Analysis), WiSe 2015/16 1. Aufgabenblatt (Thema Nr. 1, Herbst 2015) Aufgabe 1: Es sei D die offene komplexe Einheitskreisscheibe. Darüber hinaus seien f und g auf einer Umgebung von D holomorphe Funktionen, die keine Nullstelle in D besitzen. Zeigen Sie: Gilt |f | = |g| auf ∂D, so gibt es eine Konstante c mit |c| = 1, so dass f = cg auf D. Hinweis: Man nehme zunächst an, dass auch auf ∂D keine Nullstellen von g liegen. Aufgabe 2: (a) Existiert eine Folge von Punkten in der offenen oberen komplexen Halbebene, die alle Punkte von R und keine anderen Häufungswerte hat? Geben Sie eine ausführlich begründete Antwort. (b) Zeigen Sie, dass es eine Folge von Punkten in der offenen komplexen Einheitskreisscheibe gibt, die genau die Punkte der (komplexen) Einheitskreislinie als Häufungswerte hat, und weisen Sie nach, dass diese Eigenschaften tatsächlich erfüllt sind. Aufgabe 3: Beweisen Sie, dass jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten vom Grad n ≥ 1, p(z) = a0 + a1 z + · · · + an−1 z n−1 + z n , genau n Nullstellen in C besitzt (mit Vielfachheit gezählt) mithilfe (a) des Satzes von Rouché, (b) des Null- und Polstellen zählenden Integrals, indem Sie den Quotienten p0 (z) n =: (1 + g(z)) p(z) z betrachten und die so definierte Funktion g geeignet abschätzen. Aufgabe 4: Es Sei A : R → Rn×n eine stetige, matrixwertige Funktion. Betrachten Sie die zugehörige Differentialgleichung ẋ = A(t)x . (1) (a) Es seien x1 (t), · · · , xn (t), t ∈ R, Lösungen von (1). Ferner seien für ein t0 ∈ R die Vektoren x1 (t0 ), · · · , xn (t0 ) im Rn linear unabhängig. Zeigen Sie, dass dann für alle t1 ∈ R die Vektoren x1 (t1 ), · · · , xn (t1 ) im Rn linear unabhängig sind. Hinweis: Benutzen Sie das Superpositionsprinzip für lineare homogene Differentialgleichungen oder benutzen Sie die Differentialgleichung für Wronski-Determinanten. (b) Erklären Sie die Begriffe Fundamentalmatrix und Übergangsmatrix (auch Transitionsmatrix oder Hauptfundamentalmatrix genannt). Wie erhält man aus (a) eine Fundamentalmatrix und wie lässt sich die Lösung von (1) mit Anfangswert x(t0 ) = x0 ∈ Rn , t0 ∈ R, mithilfe der Übergangsmatrix ausdrücken? (c) Zeigen Sie: Sind Φ1 (t), Φ2 (t), t ∈ R Fundamentalmatrizen, so existiert eine Matrix C ∈ Rn×n mit Φ1 (t) = Φ2 (t)C , t ∈ R . Aufgabe 5: Betrachten Sie die Differentialgleichung ÿ(t) + 2cẏ(t) + y(t) = 0 (2) mit einer Konstanten c > 0. (a) Zeigen Sie, dass in allen drei Fällen c2 − 1 > 0, c2 − 1 = 0 und c2 − 1 < 0 die Differentialgleichung asymptotisch stabil ist. (b) Sei y(t) Lösung von (2) zum Anfangswert (y(t0 ), ẏ(t0 )) = (y0 , y1 ) ∈ R2 , t0 ∈ R. Bestimmen Sie limt→∞ y(t). (c) Bestimmen Sie im Fall c2 − 1 < 0 die Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1 , ẏ(0) = 0 . Hierbei ist die Abkürzung a := √ 1 − c2 nützlich. Prof. Dr. Roland Griesmaier • Julius-Maximilians-Universität Institut für Mathematik • Emil-Fischer-Str. 30 • 97074 Würzburg www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼griesmaier/teaching/RepetitoriumAnalysis2015.html