Analysis 3 WS 2015/16 12. Übungsblatt 60. Es seien f und g zwei

Analysis 3
WS 2015/16
12. Übungsblatt
60. Es seien f und g zwei skalare Funktionen aus C 2 (U), U ⊆ R3 offen, und B ⊆ U.
Zeigen Sie die Identitäten
‹
˚ (i)
f grad(g) · do =
grad(f ) · grad(g) + f ∆g dx dy dz
∂B
und
(ii)
B
‹
∂B
∂g
∂f
f·
−g·
∂n
∂n
wobei ∆ der Laplace-Operator ist.
˚ do =
f ∆g − g∆f dx dy dz,
B
Zeigen Sie, dass die linke Seite der Identität (ii) verschwindet, wenn f und g zusätzlich die symmetrischen Randbedingungen
λf +µ
∂f
= 0,
∂n
λg +µ
∂g
=0
∂n
auf ∂B erfüllen, wobei λ, µ ∈ R mit (λ, µ) 6= (0, 0).
61. Welcher Anteil des auswärts orientierten Flusses des Vektorfeldes F = (x, z, z) entfällt
auf den oberen Teil der Oberfläche des Durchschnittes der beiden Zylinder x2 +y 2 ≤ 1
und x2 + z 2 ≤ 1?
62. Eine Seifenblase habe den Kreis ∂K = {(x, y, 0) : x2 + y 2 = R2 } als Öffnung (Rand)
und sei nach oben in positiver z-Richtung aufgeblasen, wobei die genaue Form der
Oberfläche S nicht bekannt sei.
Bestimmen Sie den Fluss Φ des Vektorfeldes F = (y, z, x) durch S. Der Normalvektor
auf S weise nach “oben”.
(a) Zeigen Sie, dass F quellenfrei ist und bestimmen Sie ein Vektorfeld v mit
F = ∇ × v. Verwenden
Sie einen geeigneten Integralsatz um Φ mit Hilfe des
¸
Wegintegrals ∂K v · dx zu ermitteln.
(b) Zeigen˜Sie, durch Anwendung eines geeigneten Integralsatzes, dass Φ durch den
Fluss K F · do von F durch die von ∂K berandete Kreisscheibe berechnet
werden kann. Bestimmen Sie dieses Integral und damit Φ.
63. Die hyperbolische Länge einer Kurve γ in der oberen Halbebene R × R+ , die die
Punkte A und B verbindet, ist durch
ˆ
dx2 + dy 2
H(γ) := ds,
wobei
ds2 =
,
y2
γ
gegeben. Bestimmen Sie die kürzeste Verbindungskurve zwischen den Punkten A
und B (geodätische Linie in der hyperbolischen Geometrie).
64. Das Beispiel für die Brachistochrone für Anfangspunkt (0, 0) und Endpunkt (a, h)
(für a > 0 und h > 0) wurde in der VO behandelt.
Zeigen Sie, dass diese zeitoptimierte Bahn auf dem Segment [ π2 h, a] horizontal verläuft
für bestimmte a > π2 h.
Verschiedenes: Online-Resource für Darstellungen von ebenen Vekorfeld:
http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02t-electricity-and-magnetism-spring-2005/visualizations/vectorfields1/

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