Uebersicht_ Matrizen_Gk_M5_Q2_Cn

Zusammenfassung Übergangsmatrizen
Typische Aufgabenstellungen im Abitur
1. Beschreibung von Übergangsprozessen
2. Aus einem gegebenem Zustand den nächsten (übernächsten, …) Zustand ermitteln
3. Aus einem gegebenem Zustand den vorherigen Zustand ermitteln bzw. untersuchen, ob es
einen eindeutigen vorherigen Zustand gibt.
4. Übergangsmatrizen für mehrere Perioden ermitteln.
Zyklisches Verhalten nachweisen
Exponentielles Wachstum / Zerfall nachweisen
5. Auf Stationäre Verteilung untersuchen
6. Inverse Problemstellungen
Bemerkung zu den Bezeichnungen
Bedingt durch die Vielfalt der Anwendungsbereiche ergeben sich je nach Bereich unterschiedliche
Bezeichnungsweisen. Die wichtigsten sind:
- Zustandvektoren heißen auch Verteilungsvektoren, Populationsvektoren, Startvektoren, Ausgangsvektoren, Bedarfsvektoren, etc.
- Die Elemente der Übergangsmatrix heißen entsprechend auch Übergangsfaktoren, Übergngsquoten, Überlebensraten, Sterberaten, Übergangswahrscheinlichkeiten, Anteile, etc.
Das sollte man unbedingt beherrschen:
 Matrix mit Vektor / mit Skalar multiplizieren
 Matrizen multiplizieren
 Lösen von LGS
Aufgaben im Abiturstil
GK_HT5_2008
Schwarzwild
Wolfspopulation
1. Beschreibung von mehrstufigen Prozessen
a) Gesamter Prozess
Mögliche Beschreibungsformen
- verbal
- Übergangsmatrix
- Übergangsgraph
- Tabelle
Meistens liegt eine Form der Beschreibungen vor und man muss die Beschreibung in einer anderen Form vornehmen, z. B.
 Zu einer Problembeschreibung die Übergangsmatrix ermitteln.
 Koeffizienten einer Übergansmatrix interpretieren.
 Zu einer Übergangsmatrix den Übergangsgraphen ermitteln.
 Zu einem Übergangsgraphen die Übergangsmatrix ermitteln.
 …
Spezialfall (aber häufig gewählter Fall) Austauschprozesse:
Ein Austauschprozess liegt vor, wenn die Grundgesamtheit immer gleich bleibt,
x
d. h. bei jeder Verteilung y die Summe der Komponenten gleich ist: x+y+z=c
z
Beispiel: 50000 Kunden wechseln zwischen 3 Baumärkten ( x+y+z=50000)
100000 Moleküle wechseln zwischen 3 Energiezuständen (x+y+z=100000)
Gegenbeispiel: Entwicklung einer Maikäferpopulation
Bei Austauschprozessen ist die Summe der Koeffizienten
in einer Spalte immer 1=100%.
(Beim Übergangsgraphen kann man bei jedem Sektor eine Übergangsquote aus den anderen
errechnen.)
Bei der Berechnung der Fixvektoren/stationären Verteilungen erhält man meist durch Ausnutzung
der Bedingung x+y+z= c eine eindeutige Verteilung.
Falls die konstante Summe nicht bekannt ist, setzt man x,y und z nicht als Anzahl sondern als
Anteil an und nutzt aus, dass, auch wenn die Summe unbekannt ist, x+y+z=1(=100%) ist.
Beachte:
Bei der Übergangsmatrix sollte die Reihenfolge klar sein, also
statt
besser
0,7
M
0,1
0,1
0,2 0,85 0
0,1 0,05 0,9
von :
A
nach : B M
C
A
B
C
0,7 0,1 0,1
0,2 0,85 0
0,1 0,05 0,9
Damit gibt z. B. 0,05 die Übergangsquote von B nach C an.
Notiere Übergangsquoten im Graphen als Faktoren, das erleichtert das Verständnis.
b) Einzelne Elemente der Übergangsmatrix
Typische Fragen:
• Erläutern Sie die Elemente der 2. Zeile der Übergangsmatrix im Sachzusammenhang.
• Erläutern Sie die Bedeutung der Zahl 0,2 der Übergangsmatrix.
2
• Berechnen Sie M und erläutern Sie die Bedeutung des Elements in der dritte Spalte
und 1. Zeile.
Je nach Sachzusammenhang geht es um Übergangsquoten, –raten, Wechselquoten, Vermehrungsraten, Erzeugungsraten, Überlebensraten, … von einem Zustand in einen anderen.
Meistens gehen auch die Formulierungen wie
 20% der Wähler von Partei A wechseln bei der nächsten Wahl zu Partei B.
 30% der Eier werden zu Larven.
 …

Häufige Fehler.
20% der Wähler wählen jetzt Partei B
0,2 gibt die Anzahl der Wähler an, die von Partei A zu Partei B wechseln.
2
3
n
Merke: Die Elemente von M , M , …, M geben die Übergangsquoten nach 2; 3; …, n
Zeiteinheiten an.
2. Aus einem gegebenem Zustand den nächsten (übernächsten, …) Zustand
ermitteln
Regel
Berechnung des nächsten Verteilung aus der vorherigen Verteilung
Man multipliziert die Übergangsmatrix vorherigen Zustandsvektor M x 0 x1
Übergangsmatrix für mehrere Perioden
Bei mehreren Perioden kann man das Assoziativgesetz ausnutzen, z. B.:
x2
M2 x0 ; allgemein: xn
M M x0
Mn x0
Dazu muss man die Matrizenmultiplikation kennen:
Multiplikation von Matrizen
Mit dem Schema von Falk1 lässt sich das Matrizenprodukt auf übersichtliche Weise berechnen.
Dazu schreibt man die beiden Matrizen tabellenförmig wie unten hin.
Jede grau unterlegte Zelle ist jetzt die Kreuzung von einer Zeile der ersten Matrix und einer Spalte der zweiten Matrix. In die Zelle kommt das Skalarprodukt dieser Zeile und Spalte.
3 2 2 2 2 0
Beispiel: 2
1
1 1
3
5
3
2
1
1
3 1 5 =?
3 6 1
2
–1
3
2
1
5
2 2 0
3 1 5
3 6 1
18 20 12
4 9 –4
26 35 20
SIGURD FALK, Professor an der TH Braunschweig
3
Z. B. 18 = 2
2
2
3 ;9=
2
1
3
1
2
1
1 ; 35 = 3
6
5
2
1
6
3. Aus einem gegebenem Zustand den vorherigen Zustand ermitteln bzw. untersuchen, ob es einen eindeutigen vorherigen Zustand gibt.
Regel
In der Gleichung M x0 x1 ist jetzt x1 gegeben und x 0 gesucht
 Ein LGS aus drei Gleichungen und drei Unbekannten muss gelöst werden.
Beachte
Bei Austauschprozessen ergibt sich oft durch die Bedingung x+y+z=c (Grundgesamtheit ist konstant) bzw. x+y+z=1, falls x,y und z Anteile sind, eine zusätzliche Gleichung, die zu einer eindeutigen Lösung führt.
4. Übergangsmatrizen für mehrere Perioden ermitteln; zyklisches/exponentielles Verhalten nachweisen
Regeln
k
Ist M die Übergangsmatrix für eine Periode, so ist M die Übergangsmatrix für k Perioden.
Spezielle Populationsentwicklungen
 0 0 0 v


0 0 v
 a1 0 0 0 
Matrizen der Form U= a1 0 0 oder U  
beschreiben einfache
0 a2 0 0 


0 a2 0
 0 0 a 0
3


Entwicklungen von Populationen mit einer Vermehrungsrate v und
Überlebensraten a1, a2 (a3).
Jede Generation ist nur von der Vorgängergeneration anhängig.
Das Übergangsdiagramm für den Fall dreier Entwicklungsstadien sieht dann so aus:
v
a2
a1
S1
S2
S3
Die Übergangsquoten für mehrere Perioden erhält man hier schneller durch einfache Multiplikation
der Einzelquoten, insbesondere gilt für die Quote q von drei Perioden q=a 1·a2·v.
Somit vervielfacht sich der Bestand alle 3 (4) Jahre mit dem Faktor a1·a2·v (a1·a2·a3·v), d. h.:
– Es gibt einen Zyklus von 3 (4) Zeiteinheiten, falls a1·a2·v =1 (a1·a2·a3·v =1) gilt.
– Die Population wächst exponentiell mit dem Faktor a1·a2·v (a1·a2·a3·v)
falls a1·a2·v >1 (a1·a2·a3·v >1 gilt.
– Die Population stirbt langfristig aus, falls a1·a2·v < 1 (a1·a2·a3·v <1 gilt
5. Auf Stationäre Verteilung untersuchen
Regeln
Eine Verteilung x heißt stationär (stabil), wenn M· x = x gilt. ( x heißt dann Fixvektor.)
Zur Ermittlung des Fixvektors x löst man das LGS aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Beachte:
Bei Austauschprozessen ist die Summe S der „Teilnehmer“ des Austauschprozesses konstant.
erhält man meist mit der zusätzlichen Gleichung x+y+z= S eine eindeutige Lösung.
Ist die Summe nicht bekannt, kann man x,y und z als Anteile an der Gesamtsumme definieren
und erhält einen eindeutige Lösung für die Anteile.
Text genau lesen, denn die Aufgabe, einen Fixvektor zu ermitteln, ist oft anwendungsbezogen
formuliert.
Beispiele:
 Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung gibt, die im nachfolgenden Jahr wieder zu derselben
Verteilung führt.
 Untersuche rechnerisch, ob es eine Gleichverteilung der 24 Mio. Wähler gibt,
d.h. eine Verteilung, die nach einer Wahl gleich bleibt.
 Bestimme alle Anfangsbestände v , die nach einem Monat unverändert bleiben.
 Ermittle, welches Wechselverhalten die Kundschaft des Supermarktes B hätte, wenn von den
20000 Haushalten langfristig 30 % bei A, 50 % bei B und 20 % bei C einkauften, sofern das
Wechselverhalten der Kundschaft von A und C unverändert bliebe.
 Begründen Sie, dass es keine stabile Startpopulation x geben kann.
 Für welchen Wert von a gibt es eine Population, die sich jährlich wiederholt?
1. Beispiel: Wahlverhalten von 24 Mio. Wählern und drei Parteien
x,y,z = Anzahl der Wähler der Partei A, B, C.
0,4 0,2 0,3
Gegebene Übergangsmatrix: U= 0,3 0,5 0,2
0,3 0,3 0,5
Bedingungen: U· x = x  x+y+z=24  Koeffizientenmatrix:
0,6
0,3
0,3
1
0,2
0,5
0,3
1
0,3
0
0,2
0
0,5 0
1
24
Lösung von I,II, und IV mit TR: x= 7,125  y=7,875  z = 9;
Kontrolle von III: 0,3·7,125+0,3·7,875–0,5·9=0 (w)
Wenn 7,125 Mio. Wähler Partei A, 7,875 Mio. Wähler Partei B und 9 Mio. Wähler Partei C
wählen, bleibt die Verteilung der Wähler unverändert.
Lösung bei relativem Ansatz:
x,y,z = Anteil der Wähler der Partei A, B, C.
Bedingungen: U· x = x  x+y+z=1 Koeffizientenmatrix:
0,6
0,3
0,3
1
0,2
0,5
0,3
1
0,3
0,2
0,5
1
0
0
0
1
19
21
3
Lösung von I,II, und IV mit TR: x= 64 ∧y = 64 ∧z = 8 ;
19
21
3
Kontrolle von III: 0,3·64 +0,3·64 –0,5·8 = 0 (w)
Wenn ca. 30% der Wähler Partei A, ca. 33% der Wähler Partei B und 37,5% der Wähler Partei C
wählen, bleibt die Verteilung der Wähler unverändert.
2. Beispiel
Populationsmatrix M =
0
0
6
1
2
0
0 ; M· x = x  x=0  y = 0  z = 0
1
0
3
Es gibt bei dieser Population keine (sinnvolle) stabile Verteilung.
0
6. Inverse Problemstellungen
Regeln
Gibt es nicht.
Ratschläge:
 Text genau lesen.
 Analysieren, welche Übergangsquoten geändert werden / unverändert bleiben und ggf.
durch eine Variable ersetzen.
 Analysieren, welche Komponenten des Zustandsvektors sich ändern / unverändert bleiben
und ggf. durch eine Variable ersetzen.
 Analysieren, welche Komponenten des Ergebnisvektors bekannt sind und welche mit einer
Variablen angesetzt werden müssen.
 Änderungen am Übergangsgraphen verdeutlichen.
Beispiel: (Schwarzwild)
Bestimmen Sie eine Population, auf die der in Aufgabenteil d) beschriebene Bestand durch Abschuss reduziert werden könnte, sodass im nächsten Jahr die Population wiederum nur auf insgesamt 100 weibliche Tiere anwächst. Lassen Sie zehn alte Bachen und zehn Überläuferbachen am
Leben.
 0,59 1,76 2,29 
x


0
0  , der Abschuss führt auf eine Verteilung von v 0   10  und es ist
Gegeben P   0,52
 0
 10 
0,60 0,71

 
 0,59x  17,6  2,29   0,59x  19,89   x1 


 x 
0,52x
0,52x
x1+x2+x3=100. P· v 0  
 
= 2 

 
 x 
13,1
13,1

 
  3
x1+x2+x3=100  0,59x+19,89+0,52x+13,1=100  1,11x = 67,1  x  41,89.
Aufgabe Wolfspopulation
Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns
ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen (w), jungen Fähen
(j) sowie ausgewachsenen Fähen (a) bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen
entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen
Fähen. Die Tabelle oben zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre
2013 und 2014.
Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix A (s. o.) beschreiben:
a) (1) Begründen Sie mit den Daten aus der Tabelle, dass b = 0,4 gilt.
(2) Interpretieren Sie die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix A
im Sachzusammenhang.
b) (1) Berechnen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2015 zu erwarten ist.
(2) Bestimmen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2012 vorgelegen hätte.
(3) Ein Biologe behauptet, dass weniger als 15 % aller Welpen mindestens ein Alter von
drei Jahren erreichen. Prüfen Sie, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix A
die Behauptung des Biologen zutrifft.
c) Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten.
Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die Matrix B (s. o.)
modelliert werden:
(1) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der
Matrix B im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix A.
(2) Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe
konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden.
Zeigen Sie, dass eine nicht triviale stationäre Verteilung existiert, d. h. eine Verteilung,
die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
(3) Ermitteln Sie die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit
stationärer Verteilung, bei der alle Komponenten natürliche Zahlen sind.
d) Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von 80 % beibehalten, die Entwicklungsstufen
der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die
neue Modellierung soll durch die Matrix C mit g > 0 und 0 h <1 dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt 19 Tieren konstant bleiben.
(1) Zeigen Sie, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit mehr als 10
Welpen nicht vorkommen kann.
(2) Ermitteln Sie die Einträge g und h in der Matrix C so, dass sich eine stationäre
Verteilung mit 5 Welpen und 14 Fähen ergibt.
(3) Mit den Werten aus (2) ist C = (s. o.). Ein Taschenrechner liefert z. B. C17 = (s. o.)
Potenzen der Matrix Cn streben mit wachsendem n gegen die Matrix G (s. o.)
Mit Hilfe dieser Matrix G lässt sich die langfristige Entwicklung einer Population ermitteln.
Leider fallen in einem Jahr alle 5 Welpen der Population einer Infektionskrankheit zum Opfer.
Darauf beschließt die die Tierparkleitung die Anschaffung von vier zusätzlichen Fähen.
Ermitteln Sie die langfristige Entwicklung der Population.
Lösung der „Wolfsaufgabe“
(1) Von 65 Welpen im Jahr 2013 entwickeln sich im folgenden Jahr 26 zu jungen Fähen,
also ist b = 26:65 = 0,4.
(2) Von den jungen Fähen erreichen 50 % das dritte Lebensjahr und von den ausgewachsenen
Fähen erreichen 60 % das nächste Lebensjahr. Eine junge Fähe bringt im Durchschnitt 1,5 Welpen zur Welt und eine ausgewachsene Fähe durchschnittlich zwei Welpen.
b) (1) Multiplikation A· v 0 = v1 ergibt: Im Jahr 2015 sind 71 Welpen, 21 junge Fähen
und 23 ausgewachsene Fähen zu erwarten.
(2) Vorgängerverteilung: A· v 1  v 0 mit A und v 0 gegeben ergibt für 2012 eine Verteilung
von 20 Welpen, 10 jungen und 25 ausgewachsenen Fähen.
(3) Von den Welpen überleben das 1. Jahr 40%, davon werden 50% im 2. Jahr zu
ausgewachsenen Fähen und von diesen überleben im 3. Jahr 60%.
60% von 50% von 40% = 0,6·0,5·0,4=0,12 = 12%
Damit ergibt sich die Behauptung des Biologen aus der Modellierung.
c) (1) Die Überlebensrate für die jungen Fähen steigt von 0,5 auf 0,75 und ihre Fortpflanzungsrate
fällt von 1,5 auf 1.
1
0,1   w   w 
 0

    
0 · j = j 
(2)  0,8 0
 0 0,75 0,7   a   a 

    
 j  0,1a  w

  w  j  0,1a  0 (I) 




(II)  ;
0,8w  j
  0,8w  j  0
0,75j  0,7a  a 
0,75j  0,3a  0 (III) 




TR zeigt „Error2“ an  unendlich viele Lösungen, da w=j=a=0 eine Lösung ist.
Da alle Lösungen Vielfache voneinander sind, wählt man für eine Variable eine beliebige
 100 
Anzahl, z. B. (günstig für (II)) w = 100  j = 80  a=200; Alle Vielfachen  80  sind stabile Vertei 200 


lungen.
(3) Die kleinstmögliche Population besteht aus 5 w, 4 j und 10 a.
 0
g   11
 11
d) (1) Bei 11 Welpen und 8 Fähen müsste gelten: 
        8g=11  8,8+8h=8
 0,8 h   8   8 
 g = 1,375  h = -0,1. Eine Übergangsquote kann aber nicht negativ sein.
 0
g  5 
5
(2) 
        14g=5  4+14h=14  g = 5/14  h = 5/7
 0,8 h   14   14 
0
5
(3) Neue Anfangsverteilung: 0 Welpen und 18 Fähen. G ·   =  
 18   14 
Langfristig stellt sich wieder stationäre Verteilung von 5 Welpen und 14 Fähen ein.
Aufgabe 4
Bei einer Säugetierart können die jährlichen Änderungen in einer aus drei Alterstufen A1, A2 und A3
bestehenden Population durch die folgende Übergangsmatrix beschrieben werden:
0

A =  a1
0

0
0
a2
v

0  mit v > 0; 0 < a1  1; 0 < a2  1 (v: Vermehrungsrate, a1,a2 Überlebensraten)
0 
a) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen.
b) Bestimmen Sie a1, a2 und v so, dass sich die Population mit der Startverteilung von 1000 Tieren
in A1, 500 Tieren in A2 und 100 Tieren in A3 nach zwei Jahren reproduziert.
c) Gibt es Werte für a1, a2 und v, so dass sich eine beliebige Startverteilung nach jeweils drei Jahren
reproduziert?
Lösung Aufgabe 4
a)
v
A1
a1
A2
a2
A3
v  0
 
0   0
0   a1 a 2
va2
0
0
b) Berechnung von A2:
0

 a1
0

v  0
 
0    a1
0   0
0
0
a2
Es muss gelten: A  s  s
2
 0

 0
a a
 1 2
va2
0
0
0  1000  1000 
 
 

va1    500    500 
0   100   100 
100va1  500 (2)
1000a1 a 2 100 (3)
c) Berechnung von A3 :
0 

va1 
0 
1000 


mit s   500 
 100 


500va2  1000 (1)
Also:
0
0
a2
1
1
Daraus ergibt sich: v  10; a1  ; a 2 
2
5
0

A  A  A   a1
0

3
2
0
0
a2
v  0
 
0   0
0   a1 a 2
va2
0
0
0   a1a 2 v
0
0 
 

va1    0
a1 a 2 v
0 
0   0
0
a1 a 2 v 
Für einen Zyklus von drei Jahren muss gelten: a1a2 v  1 . Dies ist z.B. auch für die in b) berechneten
Werte erfüllt.
Aufgabe 5
Die Populationsentwicklung einer Tierart wird durch die Matrix
 0 1 4


T =  0,5 0 0 
 0 a 0


beschrieben.
a) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen und beschreiben Sie diesen Graphen aus biologischer
Sicht. (vgl. Aufgabe 4)
b) Für welchen Wert von a gibt es eine Population, die sich jährlich wiederholt?
Bestimmen Sie die Altersverteilung in dieser stationären Population, wenn sie insgesamt 2600
Tiere umfasst.
Lösung Aufgabe 5
a)
4
1
A1
0,5
A2
a
a
A3
Die Population bei dieser Tierart wird in drei Altersstufen A1 (Jungtiere), A2 (ausgewachsene Tiere)
und A3 (Alttiere) eingeteilt. Im Gegensatz zu Aufgabe 4 sind hierbei sowohl die ausgewachsenen
Tiere als auch die Alttiere fortpflanzungsfähig.
b) Für eine stationäre Population x muss gelten:
T  x  x ; zusätzlich gilt x1+x2 +x3 = 2600
 0 1 4   x1   x1 

    
 0,5 0 0    x 2    x 2 
 0 a 0  x   x 

  3  3
 x1  x 2  4 x3  0
bzw.
0,5 x1  x 2
0
ax 2  x3  0
x1 + x2 +x3 = 2600
Mit TR löst man die Gleichungen I, II und IV: x1=1600  x2=800  x3=200
1
Einsetzen in III ergibt a = 4 .
Aufgabe 6
Über die Population fiktiver Käfer sei folgendes bekannt: Die Hälfte aller neugeborenen Käfer überlebt den ersten Lebensmonat, ein Drittel aller einmonatigen Käfer überlebt den zweiten Monat und
kein Käfer wird älter als drei Monate (es gibt also nur null, ein- und zweimonatige Käfer). Nullmonatige und einmonatige Käfer haben keine Nachkommen, zweimonatige Käfer haben im Mittel 5
Nachkommen.
a) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen und stellen Sie die Übergangsmatrix U auf.
b) Berechnen Sie die Matrizenpotenz U3 und begründen Sie damit, dass es keine stabile Startpopulation x geben kann.
c) Bestätigen Sie dies, indem Sie zeigen, dass U  x  x nur die triviale Lösung hat.
Lösung Aufgabe 6
a)
5
O
1
2
1
2
1
3
Übergangsmatrix:


0
1
U= 
2

0

b)

0

U2 0
1

6
0
0
1
3


5
0


0

5

0 
3

0 2,5 
0 0 

U3
U2 U
5
6
0
0
0
5
6
0
0
0
5
6
1 1
5
Die Übergangsquoten für drei Monate sind für alle drei Zustände: 2 ·3 ·5 = 6
1
Dies bedeutet, dass jede beliebige Population nach drei Monaten um 6 abgenommen hat.
Es kann daher keine stabile Population geben.
c) Für eine stabile Population müsste gelten: U  x  x
TR: x1 = x2 = x3 = 0 (triviale Lösung; keine sinnvolle Lösung im Sachzusammenhang.)
Schwarzwild
Das Schwarzwild ist in vielen Teilen Europas seit
geraumer Zeit auf dem Vormarsch und es häufen
sich landwirtschaftliche Schäden. Verursacht wird
dieses enorme Wachstum durch die hohe Fortpflanzungsleistung dieser Art. Unter günstigen Bedingungen, d. h. bei gutem Futterangebot, gebären
beim Schwarzwild bereits die Frischlinge (Wildschweine im ersten Lebensjahr) zu einem hohen
Anteil. Zusätzlich verringert sich ihre Sterblichkeit
über die Wintermonate, und auch die Fruchtbarkeit
der reifen Bachen (weibliche Wildschweine, älter als
zwei Jahre) steigt. An diesem Punkt kommt der
Mensch ins Spiel: Vor allem durch die Landwirtschaft, aber auch durch falsche Fütterung, werden
ungewollt Nahrungsquellen für das Schwarzwild
verfügbar gemacht. Damit kommt es zwangsläufig
zu einem dramatischen Anwachsen der Bestände.
In dieser Aufgabe werden nur weibliche Wildschweine betrachtet. Diese werden in drei Altersklassen eingeteilt.
F: Frischlinge (höchstens ein Jahr alt)
U: Überläuferbachen (älter als ein Jahr bis maximal zwei Jahre alt)
B: reife Bachen (älter als zwei Jahre)
F
Eine Population weiblicher Wildschweine wird durch einen Populationsvektor
U beschrieben.
B
a) Für eine Population gilt:
Die jährliche Geburtenrate bei Frischlingen beträgt 0,13, bei Überläuferbachen 0,56 und bei
reifen Bachen 1,64.
Von den Frischlingen überleben jährlich 25 %, von den Überläuferbachen 56 % und von den
reifen Bachen 58 %.
Stellen Sie in einem Übergangsgraphen die Entwicklung dieser Population dar.
b) Entscheiden Sie, welche der Matrizen A, B, C die in a) dargestellte Entwicklung des Schwarzwildes beschreibt.
A
0,25
0
0
0,13 0,56 1,64
0,13 0,56 1,64
0
0,56 0,58 , B= 0,25
0
0 , C=⎜ 0
0,56 0,58
0,13 0,56 1,64
0
0,56 0,58
0,25
0
0
Begründen Sie auch für die beiden anderen Matrizen, warum sie zur Modellierung hier
nicht geeignet sind.
⎟
⎜
Lineare Algebra / Analytische Geometrie auf grundlegendem Niveau
turprüfungen im Fach Mathematik
Zentrale schriftliche Abi-
Die Werte aus a) beruhen auf Untersuchungen von Schwarzwild, das unter ungünstigen Bedingungen lebt. Die Winter sind lang und streng, nicht immer ist genug Futter vorhanden. Die folgenden
Matrizen P und Q hingegen beschreiben die Entwicklung von Wildschweinpopulationen unter gemäßigten bzw. guten Lebensbedingungen.
0,59 1,76
0,52
0
2,29
0,26 0,94 1,93
P
0 , Q = 0,33
0
0
0
0,60 0,71
0
0,40 0,66
c) Entscheiden Sie, welcher der beiden Matrizen P oder Q gemäßigte Lebensbedingungen für
Wildschweine und welcher gute Lebensbedingungen für Wildschweine zugrunde liegen.
Die folgenden Aufgabenteile d) bis h) beziehen sich auf die Matrix P.
d) Eine weibliche Wildschweinpopulation setzt sich zum Untersuchungszeitpunkt aus 60 Frischlingen, 23 Überläuferbachen und 17 reifen Bachen zusammen.
Berechnen Sie mit Hilfe der Populationsmatrix P die Population nach einem Jahr und aus
diesem Ergebnis die Population nach einem weiteren Jahr unter den gleichen Lebensbedingungen.
2
e) • Berechnen Sie P und runden Sie die Elemente dieser Matrix auf zwei Nachkommastellen.
2
• Bestätigen Sie durch Nachrechnen, dass man auch mit Hilfe von P den Wildschweinbestand aus Aufgabenteil d) nach zwei Jahren bestimmen kann.
2
f) Begründen Sie allein im Sachkontext und unabhängig von der Rechnung in e), warum P
keine Null enthalten darf.
g) Der Bestand nach 10 Jahren kann mit Hilfe der Matrix P
10
Für die 10. Potenz der Matrix P gilt: P
10
bestimmt werden.
61 122 152
19 39 49
13
25
32
Bestätigen Sie, dass bei ungestörtem Wachstum unter gleich bleibenden Lebensbedingungen
die Ausgangspopulation von 100 Wildschweinen (s. Aufgabenteil d)) nach 10 Jahren auf mehr
als 13 500 Tiere anwächst.
Auch ohne menschliche Eingriffe sind gleich bleibende Lebensbedingungen über Jahre hinweg
unrealistisch; das Schwarzwild könnte sich wegen der Futter- und Raumnot nicht ungehindert
vermehren. Trotzdem würden die Bestände zunächst dramatisch wachsen.
Um die Populationen konstant zu halten, werden Wildschweine von den Jagdpächtern geschossen.
Zu beachten ist dabei, dass reife Bachen in der Sozialstruktur von Wildschweingruppen eine
wichtige Rolle spielen. Ohne sie würden heranwachsende Frischlinge „ausrasten“.
h)
Bestimmen Sie eine Population, auf die der in Aufgabenteil d) beschriebene Bestand durch
Abschuss reduziert werden könnte, sodass im nächsten Jahr die Population wiederum nur
auf insgesamt 100 weibliche Tiere anwächst. Lassen Sie zehn alte Bachen und zehn
Überläuferbachen am Leben.
20 P
M GK HT 5 2008
Viele Insektenarten vermehren sich nicht nur durch befruchtete Eier, sondern auch durch unbefruchtete Eier. Unter Laborbedingungen entwickelt sich die Population einer solchen Insektenart nach
einem stark vereinfachten Modell in drei Entwicklungsstufen. Dabei schlüpfen aus
Eiern (E) nach einer Woche Insekten der ersten Entwicklungsstufe (I1), die nach einer Woche unbefruchtete Eier legen und sich in voll ausgebildete Insekten ( I2) verwandeln. Diese legen nach einer
weiteren Woche befruchtete Eier und sterben danach. Gezählt werden neben den Eiern jeweils nur
die weiblichen Insekten. Die wöchentliche Entwicklung der Population kann durch den abgebildeten
Übergangsgraphen beschrieben werden.
a) Begründen Sie, dass die in dem Übergangsgraphen dargestellte Populationsentwicklung durch
0
a b
die Übergangsmatrix Üa,b
0,1
0
0
0 0,4 0
angegeben wird, und erklären Sie die Bedeutung
der Parameter a und b.
(8 Punkte)
b) Ein Laborversuch wird mit 1000 Eiern, aber ohne Insekten der Entwicklungsstufen I 1 und I2 gestartet. Außerdem gelte a = 10 und b = 5.
Geben Sie die spezielle Übergangsmatrix an und untersuchen Sie die Entwicklung der Population für die folgenden drei Wochen.
c) Nach vier Wochen besteht die in Teilaufgabe b) beobachtete Population aus 1000 Eiern,
20 Insekten der Entwicklungsstufe I1 und 40 Insekten der Entwicklungsstufe I2 .
Durch einen einmaligen Pestizideinsatz werden 60 % der Eier und 60 % der Insekten jeder der
beiden Entwicklungsstufen I1 und I2 vernichtet. Zudem geht den Insekten der beobachteten
Population dauerhaft die Fähigkeit verloren, auf der Entwicklungsstufe I 1 unbefruchtete Eier zu
legen.
Geben Sie die zugehörige Übergangsmatrix an.
Prüfen Sie, ob die so geschwächte Population auf lange Sicht überlebensfähig ist. (11 Punkte)
d) Im Labor wurden die Insekten anderen klimatischen Bedingungen ausgesetzt. Dadurch veränderte sich der Wert des Parameters a so, dass aus einer Population von 2000 Eiern,
1000 Insekten der Entwicklungsstufe I1 und 0 Insekten der Entwicklungsstufe I2 nach zwei Wochen 3200 Eier, 600 Insekten der Entwicklungsstufe I1 und 80 Insekten der Entwicklungsstufe I2
entstanden.
Bestimmen Sie unter der Voraussetzung, dass b= 5 immer noch gültig ist, den neuen Wert des
Parameters a. (10 Punkte)
e)Ermitteln Sie die langfristige Entwicklung der Anfangspopulation(z. B. nach 4 Wochen) aus Teilaufgabe b) unter der Voraussetzung, dass die Überlebens- und Vermehrungsverhältnisse dauernd durch die Übergangsmatrix Üa,b aus Teilaufgabe a) mit a=10 und b=5 gegeben sind. (11
Punkte)
Lösungen
a) Die Beschreibung entspricht dem im Übergangsgraphen dargestellten Sachverhalt:
Eier können sich nur zu I1 entwickeln, die Überlebensrate von 10% findet sich in a2,1.
I1 überleben zu 40% (a32). Die Parameter a bzw. b geben die Erzeugungsraten von Eiern
durch Insekten der Entwicklungsstufe I1 bzw. I2 an.
 1000   0 
 0    100  ; Es gibt nur 100 Insekten der Stufe I .
b) Ü
1

 





0 0,4 0
 0   0 
Entsprechend: 1000 E und 40 I2 nach 2 Wochen und 200 E und 100 I2 nach drei Wochen.
0 10
0,1 0
5
0 ; Ü·
c) Die Population ist nicht überlebensfähig: Produkt aus Erzeugungsrate und Überlebensraten
ergibt: 5·0,1·0,4= 0,2<1.
 1000a 
 1000a   200a  2000   3200 
  600 



 
100a
d) Üneu
= 
 100  ; Üneu·  100  = 
 a = 6
  80 
 0 
 0  
0
80
 



 

1
4
1
E  4I1  I2
E 

2 2

4
4  
1
0,5 ; (Ü10;5) ·  I1  =  0,02  E  I1  0,5  I2 
e) (Ü10;5) = Ü10;5  = 0,02
 I   0,04  E  0,08I 
0,04 0,08 0
1
 2 

Die Population besteht jetzt aus 1,06·E+5,08·I1+1,5I2. Alle Stufen sind größer geworden, (mindestens 6%); langfristig wächst die Population über alle Grenzen.
0
0,1

5
 2000 
0 ; Üneu·  1000  =
 0 
0,4 0


a
0


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