GI 6 – H Grundkurs Infinitesimalrechnung, Aufgabe 6 – Hinweise zur Lösung 1. a) Für die Symmetrie musst du f(–x) bilden und vergleichen mit f(x). 1 Für die Nullstellen setzt du f(x) = 0 und benutzt, dass e 2 also nur 1 – x² = 0 untersuchen. ( 3− x ² ) immer > 0 ist. Du musst  32 − x2²  = e      nach einem Potenzgesetz zerlegen. Dann bist du soweit, dass der Hinweis einen Sinn gibt. Verwende ihn mit n = 0 und n = 2. b) Für das Monotonieverhalten brauchst du die erste Ableitung. Du bildest sie nach der 1 Für den Grenzwert solltest du die Klammer ausmultiplizieren und e 2 Produktregel und, für die Ableitung von e ( 3− x ² ) 1 ( 3− x ² ) 2 , nach der Kettenregel. 1 ( 3− x ² ) 2 > 0 ist, und bei (x³ – 3x) noch x Wenn du wieder daran denkst, dass e ausklammerst, kannst du feststellen, für welche x-Werte f ¢ (x) positiv bzw. negativ ist. Der Vorzeichenwechsel findet natürlich an den Nullstellen von f ¢ statt. Dort liegen auch die Extrempunkte von f: Tiefpunkte beim Wechsel vom Fallen zum Steigen, ein Hochpunkt im umgekehrten Fall. c) Mit f(3) und f(4) kennst du auch f(–3) und f(–4). Vergiss nicht, die Nullstellen richtig einzuzeichnen, und mache deutlich, dass die x-Achse Asymptote ist! d) Das klingt nun sehr nach Formel aufstellen und Extremwert berechnen. Ist aber alles nicht nötig! Wenn du dir zwei oder drei von den beschriebenen Dreiecken einzeichnest, merkst du sofort, dass die Grundseite immer dieselbe ist. Der Flächeninhalt hängt also nur von der Höhe des Dreiecks ab! – Und die ist offenbar der Betrag des Funktionswerts. Damit ist sofort klar, welches das größte Dreieck ist, und das berechnen der Fläche ist auch praktisch keine Arbeit. Vier leicht verdiente Punkte für Leute, die sich nicht ins Bockshorn jagen lassen. 2. a) Zu zeigen ist F ¢(x) = f(x) und, weil das Integral 0 als untere Grenze hat, F(0) = 0. Die Ableitung von F berechnest du nach der Produkt- und der Kettenregel. Die e-Funktion lässt sich überall ausklammern. b) Mach dir den Zusammenhang zwischen F und f klar: G F hat Extrempunkte, wo G f das Vorzeichen wechselt, und Wendepunkte, wo G f Extremwerte hat. Vergiss nicht, auch die Funktionswerte F(x) an diesen Stellen anzugeben! c) Den Grenzwert zu bestimmen ist nichts Neues, das geht grad wie in 1a). [Ergebnis: 0] Zur geometrischen Deutung musst du daran denken, dass F(x) als Integral geschrieben werden kann. Wenn im Integrationsintervall keine Nullstelle liegt, gibt |F(x)| einen Flächeninhalt an. Bei Integration über eine Nullstelle hinweg (wie hier) geht die Fläche oberhalb der x-Achse positiv, die Fläche unterhalb der x-Achse negativ den Wert von F(x) ein. Damit ist klar, was es bedeutet, wenn so ein Integral den Wert 0 bekommt. Dass sich die Fläche hier ins Unendliche erstreckt, ändert nichts an der Sache. Seite 1 von 1