Zum Erinnern und Wiederholen
Schneller Zugriff zum Basiswissen aus den
vorhergehenden Schuljahren
400
Arithmetik/Algebra
401
Funktionen/Analysis
407
Geometrie
415
Daten/Zufall
420
Werkzeuge
426
Zum Erinnern und Wiederholen
Algebra – Potenzen
Potenzen:
Für a ≠ 0 gilt:
a n = a · a · a · a · … · a
Potenzen
n-mal der Faktor a
0
a = 1 1
a – n = __
a n
1
__
a – n = a n
Rechenregeln:
Für a > 0 und b > 0 und ganzzahlige Exponenten gilt:
– Multiplizierena m · a n = a m + n
a
m–n
= a
– Dividieren __
a n
m
– Potenzieren(a m) n = a m · n
– Potenzieren eines Produktes(a · b) n = a n · b n
a
– Potenzieren eines Quotienten( _ ba ) = __
b n
n
Exponentielles Modell:
(
n
Spezialfall: Zinseszins
)
p t
A (t) = A ∙ 1 + ___
100
A: Startwert,
p
___
100
: konstante Wachstumsrate
t: Anzahl der Zeitabschnitte
(
)
p t
K (t) = K 0 ∙ 1 + ___
100
K 0: Startkapital, p: Zinssatz
t: Zeit in Jahren
Wissenschaftliche Schreibweise von Zahlen:
z
a · 10 mit 1 ≤ a < 10 und ganzzahligem Exponenten z
Beispiele: 9,5 · 10 7= 95 000 000. Der Taschenrechner zeigt z. B. 9,5 E7 an.
3,7 · 10 – 3 = 0,0037. Der Taschenrechner zeigt z. B. 3,7 E-3 an.
Exponentielles Modell
Zinseszins
Wissenschaftliche Schreibweise
von Zahlen
Rechnen mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise:
(a · 10 n) (b · 10 m)
= (a · b) (10 n · 10 m)
= (a · b) · 10 m + n
(a · 10 n) + (b · 1
0 n)
n
= (a + b) · 10
Andere Darstellung von sehr großen und sehr kleinen Maßzahlen:
m
μ
n
p
Milli
Mikro
Nano
Piko
=10 − 3
=10 − 6
=10 − 9
=10 − 12
T
G
M
k
Tera
Giga
Mega
Kilo
=10 12
=10 9
=10 6
=10 3
eine Billion
eine Milliarde
eine Million
ein Tausend
401
Zum Erinnern und Wiederholen
Arithmetik – Reelle Zahlen
Wurzeln
Wenn a eine Quadratzahl ist, dann ist die
Gleichung x 2= a leicht lösbar.
x 2= 1,44
x 1 = 1,2x 2= – 1,2
Wenn a keine Quadratzahl ist, dann kann man die
beiden Lösungen der Gleichung x2 = a mithilfe
des Wurzelzeichens schreiben.
__
Ist a größer oder gleich 0, dann ist √
a die positive Zahl,
die, mit sich selbst multipliziert (quadriert), a ergibt.
x 2= 2__
__
2= – √ 2
x 1= √
2 x
__
2
( √__
a ) = a
( √ 2 ) 2 = 2
Wenn a __eine positive Zahl ist, dann__ hat die Gleichung x 2 = a zwei Lösungen:
2
1. x = √ a __
ist eine Lösung, denn ( √ a ) __
= a.
2
(
2. x = – √ a ist eine Lösung, denn – √ a ) = a.
Summen und Wurzeln
Für__x ≥ 0 gilt
__ das Distributivgesetz:
__
√ x = (a + b)
√ x
a √ x + b
Rechnen mit Wurzeln
__
__
√__
7 =
2 √ 7 + 8
__
√ 7
(2 + 8) √ 7 = 10
Produkte
Wurzeln
__
__und _____
√ x ·
√ y =
√ x · y
__
__
_____
___
√ 2 ·
√ 8 =
√ 2 · 8 =
√ 16 = 4
Anwendung der „Produktregel“ – teilweises Wurzelziehen
durch Faktorisieren
__
_____
√
√
Für y ≥ 0___
gilt: __ __
8 =
4 · 2
__
__
__
__
√ y
√ 2
√ 9 y =
= √ 4 ·
√ 9 ·
√ y = 3 ·
√ 2 = 2
Quotienten und Wurzeln
Für x ≥ 0 und y > 0 gilt:
__
__
√
√__
x
__
= _
xy
√ y
Reelle Zahlen
Rationale Zahlen
Irrationale Zahlen
402
Reelle Zahlen:
rationale Zahlen und irrationale Zahlen
Rationale Zahlen:
12 _
1
Bruchzahlen, – __
, , abbrechende oder
__
8 3
periodische Dezimaldarstellung – 1,5, 0,3
Irrationale
Zahlen:
__ ___
√ 2 ; √
17 , nicht abbrechende, nicht
periodische Dezimaldarstellung
0,101 001 000 1…
___
___
__
√ 18
__
___
√ __
=
18
= √ 9 = 3
√
2
2
Reelle Zahlen:
Menge der rationalen und irrationalen
Zahlen
Zum Erinnern und Wiederholen
Algebra – Terme 1
Der Flächeninhalt kann durch unter-
schiedlich aussehende Terme beschrie-
ben werden.
Bei jeder Einsetzung für die Variable x
erhalten wir mit jedem Term den gleichen Wert.
x
3
4,5
6
x · 3 + x · 5
24
36
48
2 x · 5 – 2 · x
24
36
48
Terme aufstellen
2 x · 3 + x · 2
24
36
48
Mit Termen können wir nach den gleichen Gesetzen rechnen wie mit Zahlen:
Rechnen mit Termen
Kommutativgesetz
bei der Addition
bei der Multiplikation
a + b = b + a
a·b=b·a
bei der Addition
Assoziativgesetz
bei der Multiplikation
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c
a · (b – c) = a · b – a · c
b + c
b – c
= _ba + _ac (a ≠ 0) ____
= _ba – _ac (a ≠ 0)
____
a
a
Ziele beim Termumformen:
Terme als gleichwertig erkennen
Terme vereinfachen
3 x + 2 x
a+b+a+b
5 x
Termumformungen
2 (a + b)
Mithilfe von Rechenregeln können wir Terme in gleichwertige Terme umformen.
Dabei gelten die gleichen Gesetze wie beim Rechnen mit Zahlen (Kommutativgesetz,
Assoziativgesetz, Distributivgesetz).
Strategien beim Termumformen:
Ordnen und Zusammenfassen
6 x – 2 – 3 x + 5 = 3 x + 3
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen
3 (a + 2) – 5 = 3 a + 6 – 5 = 3 a + 1
Ordnen und Ausklammern
5 x – 2 x + 3 = 3 x + 3 = 3 (x + 1)
Strategien beim Termumformen
403
Zum Erinnern und Wiederholen
Algebra – Terme 2
Klammerregeln bei Addition
und Subtraktion
a + (b + c) = a + b + c
a + (b – c) = a + b – c
a – (b + c) = a – b – c
a – (b – c) = a – b + c
Auflösen von „Plusklammern“:
Klammer einfach w
eglassen
Addieren und Subtrahieren
von Produkten
4 a b + 7 a c – 5 a c + 3 a b + 6 b c
Vereinfachen des Terms:
4 a b + 7 a c – 5 a c + 3 a b + 6 b c =
4 a b + 3 a b + 7 a c – 5 a c + 6 b c =
7
a b +2
a c Vereinfachen von Produkten
+ 6 b c
2 · 7 · 5 · 0,1 = (2 · 5) · (0,1 · 7) = 10 · 0,7 = 7
7 a · 5 b = 35 a b
2 · x · y · 3 · x = 6 · x · x · y = 6 x2 y
Auflösen von „Minusklammern“:
Rechenzeichen in der Klammer
umkehren – Klammer weglassen
In dem Term werden Produkte addiert
und subtrahiert.
Gleichartige Produkte werden gekennzeichnet
und dann zusammengefasst.
In Produkten mit mehreren Faktoren kann man beliebig vertauschen und klammern.
Reihenfolge der
Faktoren alphabetisch
Anwenden des Distributivgesetzes: Ausmultiplizieren
und Ausklammern
Ausmultiplizieren
Ausklammern
Eine Summe wird mit einem Faktor multipliziert.
Mehrere Produkte werden addiert.
x · (y + 2 + x)
Jeder Summand in der Klammer wird mit
dem Faktor multipliziert, die entstehenden Produkte werden dann addiert.
x · (y + 2 + x) = x · y + 2 x + x2
Produkte von Summen –
Summe von Produkten
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
(3 x – 4) · (2 + 0,5 x) = 1,5 x2 + 4 x – 8
Binomische Formeln
404
Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
a·b+a·c+3·a
In jedem dieser Produkte kommt der gleiche Faktor a vor. Dann kann der F aktor
a ausgeklammert werden.
a · b + a · c + 3 · a = a · (b + c + 3)
3 x
4
2
6 x
– 8
0,5 x
1,5 x 2
– 2 x
Zum Erinnern und Wiederholen
Algebra – Lineare Gleichungssysteme
Lineares Gleichungssystem
(1) –‑3 x + 4 y = 20
(2) – 4 x + 2 y = – 12
Lineares Gleichungssystem
Gesucht: Wertepaar (x | y), das beide Gleichungen löst.
Lösungsverfahren:
Erster Schritt: Auflösen der Gleichung nach y.
(1) y = – _34 x + 5
Lösungsverfahren
(2) y = 2 x – 6
Damit erhalten wir zwei Funktionsgleichungen:
(1)y1(x) = – _34 x + 5
(2)y2(x) = 2 x – 6
Lösung mit Tabelle:
Grafische Lösung:
x
y 1 (x)
y 2 (x)
– 1
5 _34
– 8
0
5
– 6
1
4 _14
– 4
2
3 _1
2
– 2
3
2 _34
0
4
2
2
5
1 _14
4
Lösung mit Tabelle
Grafische Lösung
Rechnerische Lösung: Gleichsetzungsverfahren
– _34 x + 5 = 2 x – 6 | – 2 x – 5
11
11
– __
x = – 11
| : (– __
)
4
4
x=4
Berechnung von y:
Probe:
y = 2 · 4 – 6 = 2
3 · 4 + 4 · 2 = 20 stimmt
Die Lösung ist (4 | 2).
– 4 · 4 + 2 · 2 = – 12 stimmt
Gleichsetzungsverfahren
Lösung mit Tabelle:
Grafische Lösung:
Probe
Lösen mit dem GTR
405
Zum Erinnern und Wiederholen
Algabra – Prozentund Zinsrechnung
Anteile
Anteile kann man auf verschiedene Arten angeben.
Wie viel des Kreises ist rot gefärbt?
3
als Bruchteil __
12
als „Anteil“ 3 von 12
mit Worten jeder Vierte
als Prozent 25 %
Anteile, die man sich merken sollte:
1
1
1
1
1
2
3
__
10
= 10 % _ = 20 % _ = 25 % _ = 33,3 % _ = 50 % _ = 66,6 % _ = 75 %
5
4
3
2
3
4
Umrechnen in Prozent
Berechnen des Prozentsatzes p %
Erweitern auf den Nenner 100
Dezimalzahldarstellung berechnen
25
= 25 %
_14 = ___
100
1 : 4 = 0,25 = 25 %
Der Prozentsatz p % gibt den Anteil des Prozentwertes W am Grundwert G an.
Prozentwert: W = 225, Grundwert: G = 750, Prozentsatz: p % = n
p % = ___
225
· 100 % = 30 %
750
Berechnen des Prozentwertes W
p % = __
W
· 100 %
G
Grundwert: G = 300, Prozentsatz: p % = 19 %, Prozentwert: W = n
100 % = 300
1 % = ___
300
100
19 % =
Berechnen des Grundwertes G
___
·
300
100
p
W = G · ___
100
19 = 3 · 19 = 57
Prozentwert: W = 315, Prozentsatz: p % = 35 %, Grundwert: G = n
35 % = 315
1 % = ___
315
35
· 100 = 900
100 % = ___
315
35
G = W · ___
100
p
ProzentwertGrundwert
(1)2500 � zuzüglich 19 % MwSt.
Der Verkaufspreis von 396 � liegt 65 %
Denken Sie: 100 % + 19 % = 119 %
über dem Einkaufspreis.
Rechnen Sie: 2500 � · 1,19 = 2975 �
Wie hoch war der Einkaufspreis?
(2)820 � abzüglich 5 % Skonto
Denken Sie: 100 % + 65 % = 165 %
Denken Sie: 100 % − 5 % = 95 %
396 � = 1,65 · Grundwert
Rechnen Sie: 820 � · 0,95 = 779 �
Rechnen Sie: 396 � : 1,65 = 240 �
Kapital
Zinssatz
Jahreszinsen
Zinsrechnung ist Prozentrechnung
K
p %
Z
GrundwertG
Prozentsatz
p %
Prozentwert W
Gerechnet wird bei der Zinsrechnung genauso wie bei der Prozentrechnung.
Gegeben: Kapital 1890 �; Zinssatz 1,5 % → Jahreszinsen: 1890 � · 0,015 = 28,35 �
Gegeben: Zinssatz 4 %; Jahreszinsen 430 � → Kapital: 430 � : 0,04 = 10 750 �
45
Gegeben: Kapital 4500 �; Jahreszinsen 45 � → Zinssatz: ____
4500
· 100 % = 1 %
406
Zum Erinnern und Wiederholen
Funktionen – Zuordnung, Graph,
Tabelle, Rechenvorschrift
In vielen Situationen des Alltags besteht zwischen Größen ein Zusammenhang.
• Aktienkurse verändern sich minütlich. Jedem Zeitpunkt an einem Tag an der Börse
kann man den jeweiligen DAX zuordnen.
• Das Volumen eines Würfels hängt von dessen Kantenlänge ab. Man kann somit jeder
Kantenlänge das Volumen des entsprechenden Würfels zuordnen.
• Der Umfang eines Rechtecks hängt von der Länge und Breite ab. Der jeweiligen
Länge und Breite wird der Umfang zugeordnet.
Zuordnung
Zuordnung kann man auf verschiedene Arten darstellen:
• mit einer Tabelle
• mit einem Graphen
• mit Worten
• mit einer Rechenvorschrift
Zuordnung: Geschwindigkeit → Bremsweg
Text:Den Bremsweg s eines Autos auf trockener Straße errechnet man,
indem man die Geschwindigkeit v mit sich selbst multipliziert und das Ergebnis
durch 100 dividiert.
Tabelle:
Graph:
Geschwindigkeit v
(in km/h)
Bremsweg s
(in m)
v · v
___
100
v
v · v
10
100
1
20
400
4
50
2 500
25
100
10 000
100
200
40 000
400
Tabelle
Graph
Rechenvorschrift: s = ___
v · v
100
Rechenvorschrift
„lange“ Formulierung
kurz
Sprechweise
Der Bremsweg s ist abhängig
von der Geschwindigkeit.
s (v)
s von v
Der Bremsweg s bei einer
Geschwindigkeit von 80 km/h
beträgt 64 m.
s (80) = 64
s von 80 gleich 64
Formulierungen
407
Zum Erinnern und Wiederholen
Funktionen – G
raphen lesen,
zeichnen und beschreiben
Zuordnungen lassen sich durch Graphen darstellen.
Graphen lesen
• Achten Sie zunächst auf die Beschriftung
der Achsen. Dann wissen Sie schon,
worum es geht.
• Jeder Punkt auf dem Graphen gibt
Ihnen eine Information, die aus zwei
Werten besteht. Wenn das Fahrzeug
3 Minuten gefahren ist, hat es eine
Geschwindigkeit von 30 km/h.
Kurzschreibweise für das
Wertepaar: (3 min | 30 km/h)
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Informationen lassen sich grafisch veranschaulichen.
Graphen zeichnen
1. Festlegen, was dargestellt werden soll.
Welche Größe wird auf welcher Achse
aufgetragen?
2. Festlegen des Bildausschnittes.
Welche Bereiche werden auf den Achsen
dargestellt?
3.
Festlegen des Maßstabes.
(z. B. 1 cm auf der Achse entspricht …)
4. Eintragen der Wertepaare aus Tabelle.
Wie kann man über Graphen sprechen? Man benötigt geeignete Begriffe, um einen
Graphen beschreiben zu können.
Vokabular zum Beschreiben eines Graphen
Graphen beschreiben
408
Zum Erinnern und Wiederholen
Funktionen – Lineare Funktionen
Funktionsgleichung: y = 1,5 x + 2
y = m x + b
Wertetabelle:
+ 1
x
y
– 1
0,5
Lineare Funktion
+ 1
0
2
+ 1,5
+ 1
1
3,5
+ 1,5
+ 1
2
5
+ 1
3
6,5
…
…
x
y
0
b
+ 1,5
+ 1
1
2
+ m
2
…
+ m
Graph:
Steigungsdreieck
Geradengleichung zu zwei
gegebenen Punkten
m = ______
22 –– (– 1)
= _ 34
(– 2)
1.Steigung m mithilfe der beiden Punkte
berechnen:
y = _ 34 x + b m = _____
xy 2 –– yx 1
.
2
1
2. Die Koordinaten eines Punktes
P1 (– 2 | – 1): – 1 = _34 · (– 2) + b
(z. B. P1) in die Gleichung y = m x + b
b = _ 12 einsetzen. Die Gleichung nach b
auflösen.
y = _ 34 x + _ 12
3. Funktionsgleichung aufschreiben.
Was wollen Sie herausfinden?
Überprüfung des Ergebnisses
Ergebnis formulieren
Daten sammeln,
Variable festlegen
Modellieren mit linearen
Funktionen
Annahmen, Zusammenhänge formulieren,
Vereinfachungen vornehmen
Grafische mathematische Lösung
409
Zum Erinnern und Wiederholen
Funktionen –
Quadratische Funktionen
Quadratische Funktion
Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = a x 2+ b x + c, wobei a ≠ 0 ist, nennt
man eine quadratische Funktion.
f (x) = 2 x 2– 4 x – 6
a = 2; b = – 4; c = – 6
Parabel
Normalform
Der Graph ist eine Parabel.
Scheitelpunktform
y (x) = 2 (x – 1) 2– 8
Normalform
y (x) = 2 x 2– 4 x – 6
Direkt abzulesen:
Scheitelpunktform
Faktorisierte Form
Faktorisierte Form
y (x) = 2 (x – 3) (x + 1)
Scheitelpunkt (1 | – 8),
Streckfaktor 2.
Schnittpunkt mit
y-Achse (0 | – 6),
Streckfaktor 2.
Nullstellen: 3 und – 1,
Scheitelpunkt bei x = 1,
Streckfaktor 2.
Bei der Scheitelpunktform f(x) = a (x – m) 2+ n ist (m | n) der Scheitelpunkt. Durch den
Parameter a wird die Normalparabel „aufgebogen“, wenn 0 < | a | < 1; sie wird
„zusammengebogen“, wenn | a | > 1.
a > 0: Graph ist nach oben geöffnet.
a < 0: Graph ist nach unten geöffnet.
Lösen von quadratischen
Gleichungen
Eine quadratische Gleichung kann auf unterschiedliche Weisen gelöst werden:
x 2+ p x + q = 0x 2– 4 x + 1 = 0
Die quadratische Gleichung x 2+ p x + q = 0 hat die Lösungen
______
Rechnerisch mit der pq-Formel
√
2
Grafisch mit dem GTR
Nullstellenverfahren
x 2= 4 x – 1
Schnittstellenverfahren
410
______
√
p
2
1 = – _p2 + __
x
p4 – q
; x 2 = – _p2 – __
– q x
– 4 x + __
1=0
__
4
x 1= 2 – √
3 ≈ 0,267; x
2= 2 + √
3 ≈ 3,732
x 2– 4 x + 1 = 0
2
Zum Erinnern und Wiederholen
Funktionen – Exponentialfunktionen
Exponentialfunktion f (x) = bx
(b > 0; b 1)
Exponentialfunktion
Asymptote: Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion beliebig gut nähert,
die er aber nicht erreicht.
Asymptote
Wertemenge einer Funktion: Menge aller auftretenden Funktionswerte
Die Graphen nähern sich der x-Achse, erreichen sie aber nie.
⇒ Die x-Achse ist die Asymptote.
Wertemenge W der Funktionen: W = {y | y > 0}
b < 1: exponentielle Abnahme;
Je kleiner b, desto stärker die Abnahme.
x
b > 1: exponentielle Zunahme;
Je größer b, desto größer die Zunahme.
Die Graphen der Funktionen f (x) = b und g (x) =
bezüglich der y-Achse.
( )
x
__
b1 exponentielle Abnahme
exponentielle Zunahme
sind symmetrisch zueinander
Der Logarithmus
Logarithmus
x
Die Gleichung b = a (a > 0) wird durch die Umkehroperation, das Logarithmieren,
gelöst.
Beispiel:
2x = 6 ⇒ x = log2 6 ≈ 2,58
y
bx = a ⇔ x = logb a
6
4
Allgemein:
Für b > 0 und b ≠ 1 gilt:
logb a: „Logarithmus a zur Basis b“
y = 2x
logb a ist die Zahl, mit der man b
potenzieren muss, um a zu erhalten.
2
1
2 log26 3
x
411
Zum Erinnern und Wiederholen
Analysis – A
bleitungsfunktionen
und Ableitungsregeln
Wichtige Funktionen und deren Ableitungsfunktionen
f (x) = x 2 f’ (x) = 2 xf (x) = x 3 __
1__
f (x) = √ x f’ (x) = ___
√
2 x
f’ (x) = 3 x 2f (x) = x 4 f’ (x) = 4 x 3
1
f (x) = _1x f’ (x) = – __
x 2
f (x) = sin (x) f’ (x) = cos (x)
Wichtige Ableitungsregeln
Potenzregel
Potenzregel
Ist f (x) = x n eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten n, dann ist
f’ (x) = n ∙ x n – 1.
Beispiel: f (x) = x 6 ⇒ f’ (x) = 6 x 5
Regel für konstante Summanden
Regel für konstante Summanden
Ist f (x) = g (x) + c, dann ist f’ (x) = g’ (x).
In Worten: Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg.
Beispiel: f (x) = x 6 + 100 ⇒ f’ (x) = 6 x 5
Faktorregel
Faktorregel
Ist f (x) = a · g (x), dann ist f’ (x) = a ∙ g’ (x).
In Worten: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
Beispiel: f (x) = 2,5 x 2 ⇒ f’ (x) = 2,5 ∙ 2 x = 5 x
Summenregel
Ganzrationale Funktion
n-ten Grades
412
Summenregel
Ist f (x) = g (x) + h (x), dann ist f’ (x) = g’ (x) + h’ (x).
In Worten: Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe
der Ableitungen der beiden Summanden.
Beispiel: f (x) = x 2 + x 6 ⇒ f’ (x) = 2 x + 6 x 5
Eine Funktion
f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0mit n ∈ N,a i ∈ R und a n ≠ 0
nennt man eine ganzrationale Funktion n-ten Grades.
Die reellen Zahlen a i werden Koeffizienten genannt.
Zum Erinnern und Wiederholen
Analysis – Funktion und Ableitung
Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung
y
Funktion f
Hochpunkt
f
Tiefpunkt
streng monoton steigend
streng monoton fallend
x
streng
monoton
steigend
1. Abteilung f'
y
f'(x)>0
f'(x) > 0
f'(x) < 0
Nullstelle
f'
Nullstelle
x
Das Vorzeichen von f ’(x) gibt Auskunft über Steigen oder Fallen von f.
f ’(x) > 0,
streng monoton steigend.
In Intervallen, in denen
ist f
f ’(x) < 0,
streng monoton fallend.
Monotonie
Ein Vorzeichenwechsel von f ’(x) kennzeichnet lokale Extrempunkte von f.
An der Stelle,
von + nach –
Hochpunkt
an der f ’(x) das Vorzeichen
wechselt, liegt ein
von f vor.
von – nach +
Tiefpunkt
lokale Extrempunkte
An der Stelle, an der f einen lokalen Extrempunkt hat, ist f ’(x) = 0.
Tangentengleichung
Beispiel: f (x) = _14 x – 1; P (4 | 3)
2
Allgemein: f (x); P(a | f(a))
Ansatz: y = m · x + b
m = f ’(4) = 2
Steigung
3 = 2 · 4 + b; b = – 5
y = 2 x – 5
y-Achsenabschnitt
Tangentengleichung
m = f ’(a)
b = f (a) – f ’(a) · a
y = f ’(a) (x – a) + f (a)
Tangentengleichung
413
Zum Erinnern und Wiederholen
Analysis – B
estimmen von Nullstellen
Bestimmung von Nullstellen
Grafische Bestimmung
A Grafische Bestimmung mit dem GTR
Grafische Lösungen liefern immer gute Näherungen. Man weiß aber nicht ohne
weitere Überlegungen, ob man alle Nullstellen gefunden hat. Wir zeichnen den
Graphen in einer Fenstereinstellung, in der alle Nullstellen erkennbar sind.
Mithilfe der Trace-Funktion können Näherungswerte für die Nullstellen abgelesen
werden. Zoomen in der Nähe einer Nullstelle verbessert den Näherungswert.
Hilfreich kann hierbei auch die Tabelle sein.
Algebraisches Lösen
B Algebraisches Lösen der Gleichung f (x) = 0
Dies gelingt uns bei ganzrationalen Funktionen nur in Spezialfällen. Dafür kennt man
dann aber die exakten Ergebnisse und auch die genaue Anzahl der Nullstellen.
(1) Ein linearer oder quadratischer Funktionsterm ist vorgegeben.
10
3 x – 10 = 0
.
Die lineare Gleichung hat die Lösung x = __
3
2
x + 2 x – 8 = 0
Die quadratische Gleichung hat die
Lösungen x 1 = 2 und x
2 = – 4 (pq-Formel).
(2) Der Funktionsterm f (x) ist in der Produktform vorgegeben.
„Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.“
f (x) = 3 (x + 1) (x – 2) (x – 3)
f (x) = (x – 1) 2 (x + 1)
f (x) = (x + 3) (x 2 + x + 1)
Nullstellen bei x
1 = – 1, x
2 = 2 und x
3 = 3
Nullstellen bei x 1 = 1 (doppelt) und x
2 = – 1
Nullstelle bei x 1 = – 3
(Der Faktor x 2 + x + 1 kann nicht null werden.)
(3) Am Funktionsterm lässt sich eine Produktform erkennen.
f (x) = x 2 − 6 x = x (x − 6)
Nullstellen bei x 1 = 0 und x
2 = 6 (Ausklammern)
f (x) = x 3 – 3 x 2 = x 2 (x – 3)
Nullstellen bei x 1 = 0 (doppelt) und
x 2 = 3 (Ausklammern)
__
√
Nullstellen
f (x) = x 4 – 4 x 2 + 4 = (x 2 – 2) 2
__ bei x 1 = 2 (doppelt) und
x 2 = – √ 2 (doppelt) (Binomische Formel)
(4) Der Funktionsterm lässt sich durch eine Substitution z = x 2auf eine
quadratische Gleichung zurückführen.
f (x) = x 4 − 12 x 2 + 32
z = x 2: (x 2) 2 − 12 x 2 + 32 = 0, also:
z 2 − 12 z + 32 = 0
Lösung mit__pq-Formel: z 1 = 8; z 2 = 4
√ z erhält
Mit x = ±
__
__ man:
x 1 = √ 8 ; x 2 = − √ 8 ; x 3 = 2; x 4 = − 2
414
Zum Erinnern und Wiederholen
Geometrie – Flächenberechnungen
Strategien zur Flächenumwandlung
Formeln für Flächeninhalte
Durch Zerlegen und Ergänzen lassen sich
Vielecke in flächengleiche Rechtecke umwandeln.
Mithilfe der Flächeninhaltsformel für
Rechtecke A = a · b und der nebenstehenden Flächenumwandlung gewinnt
man die Formeln für andere Flächen.
Flächeninhalte
Dreieck
A = _ 12 g · hg
Dreieck
Parallelogramm
A=g·h
Parallelogramm
Trapez
A = _ 12 (a + c) · h
Trapez
Kreisumfang und Kreisfläche:
Kreisumfang
u = 2 · π · r = π · d
Kreisumfang
Kreisfläche
Kreisfläche
A = π · r 2
π (sprich Pi) ist der griechische Buchstabe für p.
Näherungsweise gilt: π = 3,14
Auf dem Taschenrechner finden Sie mit der Taste π einen genaueren
Näherungswert: π = 3,14159265359…
Kreisausschnitt:
Mit Proportionalitätsüberlegungen gewinnt man Formeln für die Bogenlänge
und den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts.
Bogenlänge
α
b = ____
· π · r
180°
Kreiszahl π
Kreisausschnitt
Bogenlänge
Flächeninhalt
α
A = ____
· π · r 2
360°
Zusammenhang zwischen Bogenlänge
und Flächeninhalt des Kreisausschnitts:
A = _12 · b · r
415
Zum Erinnern und Wiederholen
Geometrie – Körperberechnungen
Berechnen von Körpern
Prisma
Pyramide
Prisma:
Pyramide:
V = G · h O = 2 · G + M
V = _13 G · h O = G + M
Zylinder
Kegel
Zylinder:
V = G · h = π r 2 · h
O = 2 · G + M = 2 · π · r 2+ 2 π · r · h
Kugel
Prinzip von Cavalieri
Kugel:
V = _13 G · h = _ 13 π r 2 · h
O = G + M = π r 2 + π r s
Prinzip von Cavalieri:
Wenn bei zwei Körpern die zur Grund
fläche parallelen Querschnitte in gleichen
Höhen gleichen Flächeninhalt haben,
dann haben die Körper das gleiche Volumen.
V = _ 43 π · r 3 O = 4 · π · r 2
416
Kegel:
Zum Erinnern und Wiederholen
Geometrie – Koordinatensystem
Koordinatensystem
Koordinatensystem in der Ebene
im Raum
in der Ebene
zwei zueinander senkrechte Achsen
mit Ursprung O
Koordinatensystem im Raum
drei zueinander senkrechte Achsen
mit Ursprung O
Der Punkt P wird festgelegt durch das:
Zahlenpaar (xP | yP)
Zahlenpaar
Zahlentripel (xP | yP | zP)
Zahlentripel
Geometrische Objekte werden durch die Koordinaten von Punkten beschrieben.
Mittenviereck ABCD mit A = (1 | – 1),
B = (3 | 1), C = (0,5 | 2) und D = (– 1,5 | 0)
Quadratische Pyramide ABCDS mit
A = (4 | – 4 | 0), B = (4 | 4 | 0), C = (– 4 | 4 | 0),
D = (– 4 | – 4 | 0) und S = (0 | 0 | 6)
Der Abstand zweier Punkte P1, P2 kann mithilfe der Koordinaten bestimmt werden.
____
__________________
2
2
(x
2 – x1) + (y2 – y1)
d = P1P2 = √
____
___
___________________
__
Quadratische Pyramide
Abstand zweier Punkte
____________________________
2
2
2
(x
2 – x1) + (y2 – y1) + (z2 – z1)
d = P1P2 = √
___
___
Für die Seite AB im Mittenviereck gilt:
Mittenviereck
___
Für die Kante AS der Pyramide gilt:
____________________________
___
AB = √
(3
– 1)2 + (1 – (– 1))2 = √
8
AS = √
(0
– 4)2 + (0 – (– 4))2 + (6 – 0)2 = √
68
417
Zum Erinnern und Wiederholen
Geometrie – Vektoren
Vektoren – algebraisch und geometrisch
Zahlenpaar
Zahlentripel
Algebraisch wird ein Vektor als Zahlenpaar oder Zahlentripel geschrieben.
( )
( )
x 1
– 2
_›
_›
_›
x 1
3
v =
x = x 2
v = 1
x =
_›
( x )
2
( – 2 )
x 3
3
Wir schreiben Vektoren als Spalten und bezeichnen sie mit kleinen Buchstaben
und einem zusätzlichen Pfeil. Die reellen Zahlen x 1, x 2, x 3 heißen Koordinaten
des Vektors.
Verschiebungen
Translationen
Geometrisch können Vektoren als
Verschiebungen (Translationen)
in der Ebene oder im Raum interpretiert
werden.
( )
– 2
_›
Der Vektor v = 1
3
Anstelle der Achsenbezeichnungen x, y und z verwenden wir nun x 1, x 2 und x 3.
Pfeile
verschiebt den Punkt A = (1 | 1 | 3)
– um – 2 in Richtung x 1-Achse,
– um 1 in Richtung x 2-Achse,
– um 3 in Richtung x 3-Achse.
Der Bildpunkt ist A’ = (– 1 | 2 | 6).
_
__› _
__›
Der Vektor wird durch einen Pfeil
gekennzeichnet. Pfeile gleicher Länge
und gleicher Richtung kennzeichnen
den gleichen Vektor.
Betrag eines Vektors
Berechnung des Vektors
aus Punkt und Bildpunkt
Punkte
Ortsvektoren
___›
AA’ ist
Die Länge eines Pfeils
gleich
dem Abstand der Punkte
A
und
A’.
_
| v › |des Vektors
Sie
wird
als
Betrag
_›
v bezeichnet.
_›
| v |=
_
( ) ( )
v 3
______________
›
(
– 2) 2 + 1 2 + 3 2
| v |= √
Vektoren können auch als Punkte im Koordinatensystem interpretiert werden.
Zeichnet man vom Ursprung O des Koordinatensystems einen Pfeil zum Punkt P = (– 2 | 1 |3),
– 2
___›
so repräsentiert dieser den Vektor OP
= 1
.
( )
3
Gleichzeitig kennzeichnet er auch den Punkt P.
wird als Ortsvektor des Punktes P bezeichnet.
OP
418
3
_____________
1 2 + v 2 2 + v 3 2
√ v
Aus den Koordinaten eines Punktes A = (1 | 1 | 3)
und seines Bildpunktes A’ = (– 1 | 2 | 6) können
die Koordinaten des Vektors (der Verschiebung)
berechnet werden.
___›
_ ___›
Die Pfeile AA’
, BB’
und CC’
haben
jeweils die gleiche Richtung und
die gleiche Länge. Jeder dieser Pfeile
kennzeichnet den Vektor
v 1
– 2
_›
v = v 2 = 1
.
( ) ( ) ( )
– 1
–1
– 2
a
’1 – a 1
___›
AA’ = a
= 1
’2 – a 2
= 2
– 1
a’3 – a 3
6 – 3
3
Zum Erinnern und Wiederholen
Geometrie – Rechnen mit Vektoren
Rechnen mit Vektoren
algebraisch
Addition
geometrisch
Addition algebraisch
Addition geometrisch
( ) ( ) ( )
a 1
__›
_
›
a + b
= a 2 +
a 3
1 + b 1
b
a
1
b
2 =
2 + b 2
a
b 3
a 3 + b 3
Die einzelnen
Koordinaten
der beiden
__›
_
›
Vektoren a und b
werden jeweils
addiert.
( ) ( ) ( )
– 2
3
1
4
+ 2
= 6
3
– 1
2
Die Pfeile werden aneinandergehängt.
Dies entspricht dem
Nacheinanderaus__›
_
›
führen der durch a und b
gegebenen
Verschiebungen. Der resultierende_Pfeil__
›
›
kennzeichnet den Summenvektor a + b
.
S-Multiplikation
( ) ( )
S-Multiplikation
a 1
s
a 1
_
›
s · a = s · a 2 = s
a 2
; s ∈ R
a 3
s a 3
_
›
Jede Koordinate des Vektors a wird mit
der reellen Zahl s multipliziert.
( ) ( )
( ) ( )
– 2
– 3,8
– 2
2,4
1,9 · 4
= 7,6
; (– 1,2) · 4
= – 4,8
3
5,7
3
– 3,6
Linearkombination
Ein Vektor
__›
_
_
›
›
x = r · a + s · b mit r, s ∈ R
heißt eine
Linearkombination
der Vek__›
_
›
toren a und b
.
( ) ( )
( )
– 2
3
– 5,5
+ (– 0,5) · 2
= 7
2 · 4
3
– 1
__›
Wir schreiben auch s a.
Der Pfeil wird
auf die s-fache
Länge gestreckt.
Die Richtung
bleibt erhalten.
Der Pfeil wird auf
die |s|-fache
Länge gestreckt.
Die Richtung
wird umgekehrt.
b
_›
_›
__›
_›
x = r a + s b + t c
a
2a
2a
( 0,5
)b
0,5 b
6,5
Differenzvektor
Parallele Vektoren
Der
Vektor
AB
lässt
in der Form
__› sich
___›
___›
___›
_
›
AB = OB
– OA
= b
– a darstellen.
Die Parallelität
von zwei Strecken AB
___
und CD lässt sich mithilfe von Vektoren
leicht erkennen._ ___
___›
_
›
›
›
Zwei Vektoren u = AB
und v = CD
sind
genau
dann
parallel,
wenn
_
_
›
›
u = c v (c ∈ R).
_
_
›
›
Man bezeichnet die Vektoren u und v
auch als kollinear.
___›
Eine Linearkombination kann
auch aus mehr als zwei Vektoren
gebildet werden.
Differenzvektor
___
Parallele Vektoren
419
Zum Erinnern und Wiederholen
Daten – Diagramme
Diagramme: Daten „auf einen Blick“
Säulendiagramm Bilddiagramm
USA
China
Japan
Indien
Deutschland
50 Millionen Tonnen
In einem Säulendiagramm entspricht die Länge der Säule der Größe der Zahl.
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Mineralölverbrauch
Russland
Berlin
Tokio
Niederschlagsmenge
in mm
Niederschlagsmenge
pro Jahr (Stand 2010)
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
Peking
Bilddiagramm
Neu-Delhi
WashingtonDC
Moskau
Säulendiagramm
(Stand 2010)
In einem Bilddiagramm passen Anzahl
und Größe der Zeichen zur Größe der
Zahl.
BalkendiagrammLiniendiagramm
Deutschland
Japan
Pegelstand
in cm
Einwohnerzahlen
(Stand 2011)
240
230
Russland
220
USA
210
Indien
China
0
Pegelstand Rhein
(Koblenz)
200
0
190
500
1000
1500
Einwohnerzahlen in Millionen
Mo Di Mi Do Fr Sa So
In einem Balkendiagramm entspricht die Länge des Balkens der Größe der Zahl.
In einem Liniendiagramm entsprechen
die Punkte der Linie den Zahlen.
Prozentzahlen lassen sich besonders gut im Kreisdiagramm vergleichen.
Wie kommen Schülerinnen und Schüler
der 6 b zur Schule?
Anzahl
Anteil
Prozent
zu Fuß
12
12/25
48 %
Fahrrad
4
4/25
16 %
Auto
3
3/25
12 %
Kreisdiagramm
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
420
Bus
6
6/25
24 %
gesamt
25
25/25
100 %
Absolute Häufigkeit: Anzahl
Relative Häufigkeit: Anteil (Prozent)
Kreisdiagramm
Für das Kreisdiagramm werden die Winkel
berechnet.
1 % entspricht einem Winkel von ____
360°
= 3,6°.
100
Zum Erinnern und Wiederholen
Daten – Mittelwerte und Boxplots
Mittelwerte und Boxplots ermöglichen einen schnellen Vergleich von Datenlisten.
Wenn Sie z. B. wissen möchten, wie lange Sie im Mittel für bestimmte Kopfrechen
aufgaben brauchen, so messen Sie die Zeiten einige Male und notieren Sie die Werte.
Ergebnisliste: 15 s 20 s 15 s 10 s 25 s 45 s 35 s 15 s 25 s
s
60
50
40
30
20
10
0
Um das arithmetische Mittel der Werte
zu berechnen, müssen Sie zunächst die
Summe der Werte bilden. Dividieren Sie
die Summe dann durch die Anzahl der
Werte.
Im Diagramm gibt die gestrichelte Linie
den „Durchschnitt“ an.
Zeit
Arithmetisches Mittel
(„Durchschnitt”)
Statt arithmetisches M
ittel sagt
man häufig auch „Durchschnitt“.
15 s + 20 s + 15 s + 10 s + 25 s + 60 s + 25 s + 10 s + 10 s
____________________________________
= _____
190 s
= 21,1 s (gerundet)
9
9
Wenn Sie die Werte der Größe nach ordnen, erkennen Sie, welcher Wert in der „Mitte“
steht. Dies ist der Median. Bei einer ungeraden Anzahl von Ergebnissen stehen gleich
viele Werte vor dem M
edian wie hinter dem Median.
10 s 10 s 10 s 15 s
15 s
20 s 25 s 25 s 60 s
4 Werte
Median
4 Werte
Median (Zentralwert)
Statt Median sagt man häufig
auch Zentralwert.
Bei einer geraden Anzahl von Ergebnissen stehen zwei Werte in der „Mitte“.
Als Median nimmt man das arithmetische Mittel der beiden Werte.
15 s 20 s
10 s 10 s 10 s 15 s
20 s 25 s 25 s 60 s
_____
15 s + 20 s
= 17,5 s
2
4 Werte
4 Werte
Median
Mit dem Boxplot kann man große Datenmengen übersichtlich darstellen. Drei Freunde
haben im Experiment ihre Reaktionszeiten (in Hundertstelsekunden) mehrmals gemessen.
Ricarda
24
28
20
32
28
22
34
26
22
28
25
32
Sabrina
27
30
25
28
30
32
25
24
30
25
27
31
Florian
24
29
34
28
39
32
25
28
24
26
38
25
Die Daten von Ricarda im Boxplot:
1. Daten der Größe nach ordnen
2. Median bestimmen
3. Daten in obere und untere Hälfte
teilen
4. Mediane der oberen und der unteren
Hälfte bestimmen
Boxplot
Boxplot lesen
Mit dem GTR können Sie die drei Boxplots zu der obigen Tabelle erzeugen.
Boxplot erstellen
421
Zum Erinnern und Wiederholen
Zufall – Zufallsexperimente und
Wahrscheinlichkeit
Zufallsexperiment
Ergebnismenge
Ereignis
Wahrscheinlichkeit
Gegenereignis
Relative Häufigkeit
Die wichtigsten Begriffe
Beispiele
Ein Experiment, bei dem verschiedene Ergebnisse eintreten können.
Würfeln
Werfen eines Basketballs auf den Korb
Zusammenfassung aller möglichen {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ergebnisse{3-Punkte-Wurf, 2-Punkte-Wurf, 1-PunktWurf, kein Treffer}
Zusammenfassung einiger Ergebnisse (Teilmenge der Ergebnismenge)
gerade Zahlen
Treffer
Eine Zahl zwischen 0 und 1 (0 % und 100 %), die angibt, wie wahrscheinlich ein Ergebnis (Ereignis) eintritt.
Die Wahrscheinlichkeit kann je nach
Situation „empirisch“ oder „theoretisch“
ermittelt werden.
als Gegenereignis zu A tritt immer
A
ein, wenn A nicht eintritt.
P ({2, 4, 6}) = 1 – P ({1, 3, 5})
P ({3-P, 2-P, 1-P}) = 1 – P (kein Treffer)
__
{2, 4, 6}
{3-P, 2-P, 1-P}
Wiederholt man ein Zufallsexperiment, so kann man die relative Häufigkeit berechnen,
mit der ein bestimmtes Ergebnis (Ereignis) eintritt.
Experiment: jeweils 24-maliges Werfen eines Basketballs auf den Korb
3 Punkte
2 Punkte
Häufigkeit
2
14
8
Relative Häufigkeit
2
__
__
14
24
__
8
24
1 Punkt
24
„empirische Wahrscheinlichkeit“
Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, mit der das betref
fende Ergebnis eintritt. Statt Schätzwert sagen wir auch „empirische Wahrscheinlich
keit“ (empirisch: aus einem Experiment gewonnen).
Die relative Häufigkeit ist ein guter Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, wenn das Zu
fallsexperiment sehr häufig wiederholt wurde.
Laplace-Experiment
Bei einigen Zufallsexperimenten kann man annehmen, dass jedes einzelne Ergebnis mit
der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. In diesen Fällen kann man die Wahrscheinlich
keit für das Eintreten eines Ergebnisses theoretisch, d. h. ohne Experiment, bestimmen.
Münze
Theoretische Wahrscheinlichkeit
Laplace-Formel
422
{Z, W}
2
Würfel
Glücksrad
Ergebnismenge
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{0, 1, …, 9}
Anzahl der Ergebnisse
6
10
Urne
{1, 2, …, 49}
49
Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis
1
1
1
_
__
_12
__
6
10
49
Anzahl der günstigen Ergebnisse
Anzahl
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses: p = _____________________
der möglichen Ergebnisse
Zum Erinnern und Wiederholen
Zufall – Baumdiagramme und
Pfadregeln
Bei vielen Problemen ist es hilfreich, sich mithilfe einer Grafik einen Überblick zu ver
schaffen. Als besonders wirkungsvoll haben sich Baumdiagramme erwiesen.
Baumdiagramme
Mit einem Baumdiagramm kann man alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen
Zufallsexperimentes übersichtlich darstellen.
Mehrstufiger Zufallsexperiment
Eine Münze wird zweimal geworfen. Das Baumdiagramm stellt alle möglichen
Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes dar.
Baumdiagramm
Produktregel
Produktregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten
entlang des jeweiligen Pfades.
Summenregel
Wird ein Ereignis durch mehrere Pfade im
Baumdiagramm (Ergebnisse) beschrie
ben, so berechnet man dessen Wahr
scheinlichkeit als Summe der einzelnen
Pfadwahrscheinlichkeiten.
Ereignis E:
In beiden Münzwürfen gleiches Bild
Summenregel
p(E)= p(ZZ) + p(KK)
= 0,5 · 0,5+ 0,5 · 0,5
= 0,25
+ 0,25
= 0,5
423
Zum Erinnern und Wiederholen
Zufall – Zufallsgröße und
Erwartungswert
Zufallsgröße
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert
Zufallsgröße
Manchmal kann man sich besser verständigen, wenn man die richtigen Begriffe verwendet.
Spielen Sie z. B. Monopoly, dann kommt es auf die Augensumme an, bei anderen
Spielen auf den Unterschied der beiden Augenzahlen. Wir nennen die Größe, auf die
es uns ankommt, Zufallsgröße.
Die beiden folgenden Tabellen stellen die Wahrscheinlichkeitsverteilung verschiedener Zufallsgrößen beim zweimaligen Würfeln dar.
Zufallsgröße:
Augensumme X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Summe
p
1
__
36
__
2
__
3
__
4
__
5
__
6
__
5
__
4
__
3
__
2
36
__
1
1
36
36
36
36
36
36
36
36
36
Zufallsgröße: Unterschied X
der beiden Augenzahlen
0
1
2
3
4
5
Summe
p
6
__
36
__
10
__
8
__
6
__
4
__
2
1
36
36
36
36
36
Erwartungswert
Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X ist der Wert, bei
dem sich der Mittelwert der
Zufallsgröße bei einer sehr
häufigen Versuchswiederholung einpendelt (Häufigkeitsinterpretation).
Kennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X, dann kann man den Erwartungswert E (X) berechnen:
E (X) = x 1· P (X = x 1) +
x 2· P (X = x 2) + … +
x n· P (X = x n)
Spiel mit zwei Würfeln: Einsatz 1 €
Gewinnplan:
zwei Sechsen:
Auszahlung 9 €
Sechs und Eins: Auszahlung 5 €
Augensumme 8: Auszahlung 2 €
sonst: Verlust des Einsatzes 1 €
(Gewinn 8 €)
(Gewinn 4 €)
(Gewinn 1 €)
(Gewinn – 1 €)
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Zufallsgröße:
Gewinn X
Wahrscheinlichkeit p
x∙p
8 €
1
__
36
1
8 € ∙ __
36
4 €
__
2
36
2
4 € ∙ __
36
1 €
__
5
36
5
1 € ∙ ___
36
28
__
36
28
– 1 € ∙ __
36
1
7
– __
€
36
Unter P (X = x 1) versteht man
– 1 €
die Wahrscheinlichkeit, mit der
Summe
das Ergebnis x 1eintritt, unter
P (X = x 2) die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ergebnis x 2eintritt, usw.
In unserem Beispiel gilt: E (X) = – 0,194, d. h. im Mittel verliert man pro Spiel 0,194 €.
1
2
5
7
E (X) = 8 € ∙ __
36
+ 4 € ∙ __
36
+ 1 € ∙ __
36
+ (–1 €) ∙ __
28
= – __ € ≈ – 0,194 €
36
36
424
Zum Erinnern und Wiederholen
Zufall – Bedingte Wahrscheinlichkeit
Es seien A und B zwei Ereignisse. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P (B | A) ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis B eintritt, wenn bekannt ist, dass das
Ereignis A eingetreten ist.
Beispiel:
Bei einer Verzehrstudie werden 8250 Personen befragt, ob sie sich vegetarisch
ernähren oder nicht.
Ergebnis der Befragung:
Absolute Häufigkeiten
Ja
Relative Häufigkeiten
Nein
Summe
Ja
Nein
Summe
Männlich
53
3497
3550
Männlich
0,006
0,424
0,430
Weiblich
141
4559
4700
Weiblich
0,017
0,553
0,570
Summe
194
8056
8250
Summe
0,023
0,977
1
Angenommen, Sie wählen aus diesen 8250 Personen zufällig eine
__ Person aus.
Sei A das Ereignis, dass die ausgewählte Person männlich und A
das Ereignis, dass die
ausgewählte Person weiblich ist.
__
Sei weiterhin B das Ereignis, dass die ausgewählte Person Vegetarier und B
das Ereignis, dass die ausgewählte Person kein Vegetarier ist.
Dann gelten:
Eine Vierfeldertafel erfasst Wahrscheinlichkeiten bzw. relative oder
absolute Häufigkeiten, welche nach
zwei Ereignissen (Merkmalen) A
und B unterschieden werden.
Gegenereignis zu A:
Das Gegenereignis
zu A bezeichnet
__
man mit A. Es tritt immer ein,
wenn A nicht
eintritt.
__
Es gilt: P (A) = 1 – P (A).
P (A)
= P („männlich“) = 0,430
P (A und B) = P („männlich und Vegetarier“) = 0,006
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P (B | A) bezieht sich auf die Grundmenge A, die
befragten Männer. Sie ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter
53
Mann Vegetarier ist. Es gilt P (B | A) = ____
3550
= 0,015.
Übersetzen der tabellarisch erfassten Daten in ein Baumdiagramm
Geschlecht
P (B |A) = 0,015
Vegetarier
B
53
Baumdiagramm
Ereignis
A und B
männlich und Vegetarier
A
3550
P (A) = 0,43
P (B |A) = 0,985
B
3497
A und B
männlich und kein Vegetarier
P (B |A) = 0,03
B
141
A und B
weiblich und Vegetarierin
B
4559
A und B
weiblich und keine Vegetarierin
8250
P(A) = 0,57
A
4700
P (B |A) = 0,97
Den obersten Pfad des Baumdiagramms kann man wie folgt interpretieren:
P (A und B) = P (A) ∙ P (B | A) = 0,43 ∙ 0,015 = 0,006
Multiplikationsregel
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A und das Ereignis B eintreten,
wird mit der Formel P (A und B) = P (A) · P (B | A) berechnet.
Multiplikationsregel
Regel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit
P (A und B)
P (B | A) = __________
; P (A) ≠ 0
P (A)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
425
Zum Erinnern und Wiederholen
Werkzeuge – Funktionsgraphen
erstellen und Gleichungen lösen mit
dem GTR
Grafik erstellen
Grafiken mit dem Grafikrechner
Mit wenigen Tastendrücken können Sie Gleichungen nicht nur mithilfe einer Tabelle,
sondern auch grafisch lösen. Wie müssen Sie vorgehen, wenn Sie z. B. die Gleichung
2 x + 2 = 8 – x lösen wollen?
1. Terme eingeben
y1(x) = 2 x + 2
y2(x) = 8 – x
2. Zeichenbereich festlegen
Wählen Sie Teile der x-Achse und der y-Achse aus.
3. Grafik anzeigen
4. Lösung der Gleichung
x-Wert des Schnittpunktes ablesen oder mit TRACE finden
Sie können mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) Gleichungen lösen.
Gleichung lösen
Eine Gleichung lösen heißt
• mit Grafik: Finden Sie einen Schnittpunkt der zugehörigen Graphen.
Die x-Koordinate ist dann Lösung der Gleichung.
• mit Tabelle: Finden Sie einen x-Wert mit übereinstimmendem Tabelleneintrag.
Mit y1 = linke Seite und y2 = rechte Seite erhält man dann manchmal
(a) – sofort die genaue Lösung:(b) – nach wiederholtem Zoomen
bzw. Verfeinern der Tabelle die genaue
Lösung:
2 x – 4 = 5 – x
3 x – 2 = 5 – 2 x
426
Zum Erinnern und Wiederholen
Werkzeuge – Tabellenkalkulation
Beim Start der Tabellenkalkulation öffnet sich ein leeres Tabellenblatt, eine Tabelle mit in
Zeilen und Spalten angeordneten einzelnen Zellen.
In jede beliebige Zelle ist eine Eingabe möglich. Eingegeben werden können Zahlen,
Texte und auch Formeln zur Berechnung von Werten mit den Zahlen anderer Zellen.
Tabelle
Zeilen 1, 2, 3, …
Spalten A, B, C, …
Zellen A1, E3, ...
Die Rechenoperation für die Formel kann in die Befehlszeile oder auch direkt in die Zelle
eingegeben werden, sie muss zur Kennzeichnung als Formel auf jeden Fall mit dem
Gleichheitszeichen beginnen.
In dem Tabellenblatt ist in Zelle E3 die
Formel =B3*C3 geschrieben. Damit
wird automatisch der Preis für eine CD
mit der Anzahl der gekauften CDs
multipliziert, es wird dann der Gesamtpreis für alle gekauften CDs in die
Zelle geschrieben.
Die Tabellenkalkulation stellt auch
viele wiederkehrende Formeln fertig
zur Verfügung. In der Zelle E7 ist der
Befehl =SUMME(E3;E4;E5) eingegeben. Damit werden die in den Zellen
E3 bis E5 angegebenen Gesamtpreise
für die gekauften Artikel aufsummiert.
Zu geeigneten Tabellen lassen sich mit der Tabellenkalkulation auch übersichtliche Diagramme erstellen. Nach dem Markieren der passenden Spalten (oder Zeilen) werden
zuerst der Diagramm-Assistent und dann die gewünschte Diagrammart aufgerufen, das
Diagramm wird dann automatisch erstellt.
Eingabe von Formeln
=B3*C3
Diagramme
Diagrammtyp:
Diagramm-Assistent
Wie bei der Textverarbeitung können Sie auch in der Tabellenkalkulation einzelne Zellen
oder das Tabellenblatt formatieren. Damit ist gemeint, dass Sie z. B. die Spalten- oder
Zeilenbreite, die Größe oder Farbe der Zellen, Schriftart und Schriftgröße der Einträge
in den Zellen und vieles andere einstellen bzw. verändern können.
Formatierung
Jede Tabellenkalkulation bietet eine Hilfefunktion. Nutzen Sie diese.
Hilfefunktion
427
Zum Erinnern und Wiederholen
Werkzeuge –
Dynamische Geometriesysteme
DGS
Zugmodus
Experimentieren
und Entdecken
„Was passiert, wenn …?“
DGS = „Dynamische Geometriesysteme“ sind
Werkzeuge, mit denen Sie am Computer geome
trische Konstruktionen ausführen können. Die konstruierten Figuren sind mit dem Zugmodus nachträglich noch in Lage und Form veränderbar.
Mit der Frage „Was passiert, wenn …“ und dem
gezielten Experimentieren beim Ziehen der Figuren
lassen sich wichtige geometrische Eigenschaften
und Zusammenhänge entdecken.
C
C
C
C
A
B
Nach dem Start des DGS erscheint ein leeres Zeichenblatt. Mithilfe verschiedener
Werkzeuge aus dem Menü lässt sich auf dem Zeichenblatt konstruieren, abbilden und
messen.
Hauptleiste
A
Konstruieren
ABC
Beispiel: Dreieck
B
“Vieleck“ (Polygon) auswählen.
– Auf dem Zeichenblatt drei Punkte anklicken
und zum Abschluss wieder den ersten Punkt
anklicken.
C
A
Beispiel: Schnittpunkte zweier Kreise
Kreis mit Mittel- und Kreispunkt konstruieren.
– Zwei Punkte anklicken, der erste Punkt ist der Mittelpunkt, der zweite Punkt liegt auf dem Kreis.
H
Schnittpunkte erzeugen.
L
G
– Beide Kreise nacheinander oder gleichzeitig anklicken.
I
K
J
Schnittpunkte können nicht gezogen werden.
Abbilden
Beispiel: Dreieck an einer Geraden spiegeln
E
B
Gerade als Spiegelachse konstruieren.
– Zwei Punkte anklicken.
B'
Im Menü „Abbildungen“ Icon wählen.
– Das Dreieck, das gespiegelt werden soll, anklicken.
Die Gerade, an der gespiegelt werden soll, anklicken.
C C'
A
D
Beispiel: Streckenlängen messen
E
B
„Abstand oder Länge“ Icon wählen.
A'
B'
– Strecke oder Endpunkte der Strecke anklicken.
BC = 2,57
A
C C' C'B' = 2,57
D
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A'
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