Einführung in die Physik I Komplexe Zahlen Imaginäre Einheit

Einführung in die Physik I
Komplexe Zahlen
O. von der Lühe und U. Landgraf
Imaginäre Einheit
• Verallgemeinerung des
Zahlenbegriffs durch Einführung
der imaginären Einheit i
• Kombination von reellen Zahlen
(eine Dimension) mit der Menge
der imaginären Zahlen (zweite
Dimension) zur Menge der
komplexen Zahlen z
• Realteil und Imaginärteil
• Betrag |z| = ρ
• komplexe Phase ϕ
• Geometrische Darstellung in
zwei Dimensionen
i2 = −1
z = a + b ⋅i
z = ρ = a 2 + b2
tan ϕ =
Re( z ) = a
Im( z ) = b
Im
b
i
z
ϕ
0
Komplexe Zahlen
b
a
1
a
Re
2
1
Rechnen mit komplexen Zahlen
• Addition und
Subtraktion
Im
z
z2
z1 ± z 2 = a1 + b1 ⋅ i ± a2 + b2 ⋅ i
= (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 ) ⋅ i
z1
0
Re
• Multiplikation
z1 ⋅ z 2 = (a1 + b1 ⋅ i ) ⋅ (a2 + b2 ⋅ i )
z
Im
ϕ1+ ϕ2
z2
= a1a2 + a2b1 ⋅ i + a1b2 ⋅ i + b1b2 ⋅ i 2
ϕ2
= (a1a2 − b1b2 ) + (a2b1 + a1b2 ) ⋅ i
ϕ1
z1
0
Re
Komplexe Zahlen
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Rechnen mit komplexen Zahlen
• Division
(a + b ⋅ i )⋅ (a2 − b2 ⋅ i )
z1
a + b ⋅i
= 1 1 = 1 1
z 2 a2 + b2 ⋅ i (a2 + b2 ⋅ i ) ⋅ (a2 − b2 ⋅ i )
=
z2
ϕ1
(a1a2 + b1b2 ) + (a2b1 − a1b2 )⋅ i
a +b
2
2
2
2
z1
Im
ϕ2
z
ϕ1- ϕ2
0
Re
• Komplexe
Konjugation
z = a + b⋅i
– Vorzeichenumkehr des
Imaginärteils
z
Im
z∗ = a − b ⋅ i
ϕ
0
-ϕ
Re
z*
Komplexe Zahlen
4
2
Exponentialform
• Euler‘sche Relation
cos ϕ + i ⋅ sin ϕ = e iϕ
• Euler‘sche Zahl
e = 2.7182826L
1 1 1
1
= 1+ + + +L+ +L
1! 2! 3!
n!
– Basis des natürlichen
Logarithmus
• Euler‘sche Darstellung einer
komplexen Zahl
z = ρ ⋅ e iϕ
z1 ⋅ z 2 = ρ1 ⋅ ρ 2 ⋅ e i (ϕ1 +ϕ 2 )
• Multiplikation
• Konjugation
• Potenzen
z ∗ = ρ ⋅ e − iϕ
z n = ρ n ⋅ e inϕ
Komplexe Zahlen
5
3

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