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Grenzwerte, die auf unbestimmte Ausdrücke führen
Beispiele unbestimmter Ausdrücke
sin (x)
• lim
=?
x→0
x
Geht x gegen Null: „x → 0“, so geht auch sin (x) gegen Null: „sin (x) → 0“.
0
sin (x)
führt auf den unbestimmten Ausdruck .
Man sagt: der Grenzwert lim
x→0
x
0
sin (x)
= 1 sein müsste.
Ein Blick auf die Kurve lässt vermuten, dass lim
x→0
x
1
sin(x)
x
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
− 3π
−2π
−π
0
2π
π
3π
ln (x)
=?
x→∞
x
• lim
Für x → ∞ gilt ln (x) → ∞. Der Grenzwert führt auf den unbestimmten Ausdruck
• lim (10 t + 1) ⋅ e
t→∞
−t
∞
.
∞
=?
Dieser Grenzwert begegnete uns im Zusammenhang mit einer Extremwertaufgabe.
−t
Für t → ∞ gilt (10 t + 1) → ∞ und e → 0.
Dieser Grenzwert führt auf den unbestimmten Ausdruck ∞ ⋅ 0.
Wie lassen sich diese Grenzwerte berechnen? Angenommen, wir haben zwei Funktionen f (x)
und g (x) mit lim f (x) = f (x0 ) = 0 und lim g (x) = g (x0 ) = 0.
x→x0
x→x0
f (x)
f (x0 ) 0
also auf den unbestimmten Ausdruck
= .
g (x)
g (x0 ) 0
Wir können den Grenzwert deshalb nicht einfach durch Einsetzen von x = x0 berechnen.
Dann führt der Grenzwert lim
x→x0
Wegen
f (x) f (x) − f (x0 )
=
=
g (x) g (x) − g (x0 )
f (x)−f (x0 )
x−x0
g(x)−g(x0 )
x−x0
können wir aber folgendermaßen rechnen:
f (x)
lim
= lim
x→x0 g (x)
x→x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
g(x)−g(x0 )
x−x0
= lim
x→x0
f ′ (x)
g ′ (x)
Grenzwertregel von Bernoulli und de l’Hospital
Führt lim
x→x0
f (x)
0
∞
auf einen unbestimmten Ausdruck der Form oder , so gilt:
g (x)
0
∞
lim
x→x0
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
g (x) x→x0 g (x)
Diese Regel gilt auch für Grenzwerte mit x → +∞ oder x → −∞.
Diese Regel besagt: führt der Grenzwert von
f (x)
g(x)
auf einen unbestimmten Ausdruck, so leite
man Zähler und Nenner ab, und versuche stattdessen den Grenzwert von
f ′ (x)
g ′ (x)
zu berechnen.
Beispiele
cos (x) 1
sin (x)
= lim
= =1
x→0
x ( 00 ) x→0 1
1
Hier, wie im Folgenden, habe ich unter dem Gleichheitszeichen den Typ des jeweiligen
unbestimmten Ausdrucks notiert.
Dass tatsächlich ein unbestimmter Ausdruck des Typs 00 bzw. ∞
∞ vorliegt, ist eine wichtige
Voraussetzung dafür, dass man die Grenzwertregel überhaupt anwenden kann!
• lim
1/x
ln (x)
0
= lim
= =0
∞
x→∞
x ( ∞ ) x→∞ 1
1
• lim
−t
10 t + 1
10
=0
∞
e
e
∞
Es liegt zunächst kein unbestimmter Ausdruck 00 oder ∞
vor. Oft aber kann man das wie
hier durch eine Umformung erreichen, so dass die Grenzwertregel anwendbar wird.
• lim (10 t + 1) ⋅ e
t→∞
=
lim
(∞⋅0) t→∞
t
= lim
∞
(∞
)
t→∞
10
t
=
x − sin (x)
1 − cos (x)
sin (x)
cos (x) 1
= lim
= lim
= lim
=
3
2
0
0
0
x→0
x
3x
6
6
( 0 ) x→0
( 0 ) x→0 6 x
( 0 ) x→0
Manchmal muss man die Grenzwertregel mehrfach anwenden. Hier wird sie dreimal angecos(x)
wendet bis endlich 6 nicht mehr auf einen unbestimmten Ausdruck führt.
• lim
3 x2 − 10 x + 8
6 x − 10 2 1
= lim
= =
2
0
x→2 3 x − 4 x − 4 ( ) x→2 6 x − 4
8 4
0
Die Grenzwertregel gilt nicht nur für x → 0 bzw. x → ±∞. Hier ein Beispiel mit x → 2.
• lim
3 x2 − 10 x + 8
6 x − 10 2
= lim
= ☇ (nicht definiert – der Grenzwert existiert nicht!)
2
0
x→2 3 x − 12 x + 12 ( ) x→2 6 x − 12
0
0
1
Der Ausdruck 0 ist nicht unbestimmt wie 00 oder ∞
∞ , sondern nicht definiert. Tatsächlich
3 x2 −10 x+8
strebt 3 x2 −12 x+12 nicht gegen einen endlichen Grenzwert für x → 0.
• lim
1
sin (x) − x
1
cos (x) − 1
) = lim
= lim
= ...
• lim ( −
0
x→0
x→0
x→0 x
sin (x) (∞−∞)
x ⋅ sin (x) ( 0 )
sin (x) + x ⋅ cos (x) ( 00 )
− sin (x)
0
. . . = lim
= =0
2
( 00 ) x→0 2 cos (x) − x ⋅ sin (x)
x⋅ln(1+ x1 )
1 x
• lim (1 + ) = lim e
= e1 = e
x→0
x (1∞ ) x→0
Der Grenzwert des Exponenten x ⋅ ln (1 + x1 ) für x → 0 ist nämlich
ln (1 + x1 )
1
lim x ⋅ ln (1 + ) = lim
= lim
1
∞ x→0
x→0
x (0⋅∞) x→0
(∞
)
x
1
1+ x1
)
⋅ ( −1
x2
−1
x2
1
1
=1
=
1
x→∞ 1 +
1+0
x
= lim

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