(Folgen, vergleiche Analysis in einer Variable). Eine Abbildung a

3. Konvergenz und Divergenz
Definition 1.12 (Folgen, vergleiche Analysis in einer Variable). Eine Abbildung
a : N → Rn (bzw. a : N0 → Rn ) nennt man Folge. Statt a : N → Rn schreibt
man meist (ak )k∈N und ak statt a(k).
Definition 1.13 (Konvergenz, Divergenz, Grenzwert einer Folge, vergleiche
Analysis in einer Variable). Es sei (ak )k∈N eine Folge.
a) (ak )k∈N heißt konvergent falls ein a ∈ Rn mit folgender Eigenschaft
existiert: Zu jedem ǫ > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass für alle k > N
die Ungleichung |ak − a| < ǫ gilt. Der Wert a heißt in diesem Fall
Grenzwert von (ak )k∈N . Wir schreiben auch limk→∞ ak = a oder
k→∞
ak −→ a.
b) Eine Folge heißt divergent falls sie nicht konvergent ist.
Satz 1.14. Eine Folge (xk )k∈N mit xk ∈ Rn konvergiert bezüglich der euklidischen Norm, genau dann wenn Sie bezüglich der 1 − N orm konvergiert und
genau dann wenn sie bezüglich der Maximums-Norm konvergiert.
Satz 1.15. Eine Folge (xk )k∈N mit xk ∈ Rn konvergiert genau dann wenn alle
ihre Komponentenfolgen konvergieren.
Definition 1.16 (Cauchy-Folge, vergleiche Analysis in einer Variable). Eine
Folge (ak )k∈N heißt Cauchy-Folge falls es zu jedem ǫ > 0 ein N ∈ N gibt, so
dass für alle k, m ≥ N die Abschätzung kak − am k < ǫ gilt.
Satz 1.17 (Cauchy-Konvergenzkriterium, vergleiche Analysis in einer Variable). Eine Folge in Rn ist genau dann konvergent, wenn Sie eine Cauchy-Folge
ist.
Satz 1.18 (Bolzano-Weierstraß, vergleiche Analysis in einer Variable, Satz. 2.6).
Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.
4. Stetigkeit
Definition 1.19 (Stetigkeit). Es sei M ⊂ Rn und f : M → Rm eine Funktion.
f heißt stetig im Punkt x0 ∈ M wenn zu jedem ǫ > 0 ein δ > 0 existiert, so
dass für jedes y ∈ M mit ||x0 − y|| < δ auch ||f (x0 ) − f (y)|| < ǫ gilt. f heißt
stetig auf M falls f für jedes x ∈ M stetig ist.
Satz 1.20. Eine Funktion f : M → Rm ist genau dann stetig in a ∈ M , wenn
alle Komponentenfunktionen fj : M → R, x 7→ (f (x))j stetig sind.
Satz 1.21 (Folgenstetigkeit). Es sei M ⊂ Rn . Eine Funktion M → Rm ist
genau dann stetig im Punkt a ∈ M wenn für alle Folgen (an )n∈N mit an ∈ M
und an → a auch f (an ) → f (a) gilt.
Satz 1.22 (Existenz von Maxima und Minima). Es sei K ⊂ Rn kompakt und
f : K → R stetig.
a) f nimmt auf K ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum
an.
b) Ist K zusätzlich wegzusammenhängend, d.h. zu jedem Punktepaar
x, y ∈ K gibt es eine stetige Funktion w : [0, 1] → R mit w(0) = x und
w(y) = 1, dann ist f (K) = [a, b] wobei a das absolute Minimum und
b das absolute Maximum von f ist.
Bemerkung: Es gilt sogar: Es sei f : Rn → Rm stetig. Dann gilt
a) Ist M ⊂ Rm offen, dann ist auch f −1 (M ) offen.
b) Ist M ⊂ Rm abgeschlossen, dann ist auch f −1 (M ) abgeschlossen.
c) Ist K ⊂ Rn kompakt, dann ist auch f (K) kompakt.

Download Report