Blatt 11 Analysis 1 Übungen Wintersemester 2015/16 61. Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen: ∞ (a) ∑ u�=1 ∞ (c) ∑ u�=0 ∞ 1 u� 𝑧 𝑛u� (b) ∑ u�=1 ∞ u� 2 (𝑧 + 𝑖)u� 𝑛! (𝑛! )2 u� 𝑧 (2𝑛)! (d) ∑(−1)u�+1 u�=1 𝑧 2u�−1 (2𝑛 − 1)! Hinweis zu (d): Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe, für festes 𝑧 ∈ ℂ, direkt mit Hilfe des Quotientenkriteriums. 62. Wir betrachten die Funktion 𝑓 ∶ ℂ ∖ {0} → ℂ, 𝑥 ↦ u�1 . Finden Sie, auf geeigneten Teilmengen von ℂ ∖ {0}, Darstellungen von 𝑓 als Potenzreihen der Form ∞ 1 = ∑ 𝑎 (𝑥 − 1)u� 𝑥 u�=0 u� und ∞ 1 = ∑ 𝑏 (𝑥 − 2)u� 𝑥 u�=0 u� (𝑎u� , 𝑏u� ∈ ℂ). Bestimmen Sie die Konvergenzradien der beiden Potenzreihen. Hinweis: Geometrische Reihe. 63. Es sei 𝑓 ∶ ℝ → ℝ deﬁniert durch 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1. Zeigen Sie, mit Hilfe der 𝜀-𝛿-Deﬁnition der Stetigkeit, dass 𝑓 an der Stelle −1 stetig ist. 64. Es sei 𝐷 ⊆ ℝ, es seien 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐷 → ℝ in 𝑥0 ∈ 𝐷 stetige Funktionen und es gelte 𝑓(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 ). Zeigen Sie: Ist ℎ ∶ 𝐷 → ℝ eine Funktion, so dass für alle 𝑥 ∈ 𝐷 gilt 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), so ist ℎ stetig in 𝑥0 . 65. Es sei 𝐷 ⊆ ℂ, und 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐷 → ℂ seien stetig in 𝑧0 ∈ 𝐷. Zeigen Sie, mit Hilfe der 𝜀-𝛿-Deﬁnition der Stetigkeit, dass auch die Funktion 𝑓𝑔 ∶ { in 𝑧0 stetig ist. 𝐷 𝑧 → ℂ, ↦ 𝑓(𝑧)𝑔(𝑧)