Ubungen zu ” Analysis III“

Mathematisches Institut
der Universität Tübingen
WS 2015/16
21.01.2016
Blatt 12
Prof. Dr. Frank Loose,
Pirmin Vollert
Übungen zu Analysis III“
”
Satz: (Stone-Weierstraß) Sei (K, d) ein kompakter metrischer Raum und (C(K, R), k · k∞ ) die
Banachalgebra der stetigen Funktionen auf K. Ist A ⊆ C(K, R) eine Unteralgebra, so dass
für alle x ∈ K ein f ∈ A mit f (x) 6= 0 existiert und für alle x, y ∈ K mit x 6= y ein f mit
f (x) 6= f (y) existiert, so liegt A dicht in C(K, R).
Aufgabe 1: Seien n, m ∈ N, K ⊆ Rn kompakt und f : K → Rm stetig. Zeigen Sie mit
dem Satz von Stone-Weierstraß, dass eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen (Pk : K →
Rm )k∈N existiert, die gleichmäßig gegen f konvergiert. (Hinweis: Betrachten Sie polynomiale
Abbildungen.)
Aufgabe 2: Sei n ∈ N ungerade und F : S n−1 → Rn ein stetiges Vektorfeld.
(a) Zeigen Sie, dass eine Folge stetig differenzierbarer Vektorfelder (Qk )k∈N auf S n−1 existiert,
die gleichmäßig gegen F konvergiert.
(b) Zeigen Sie, dass F eine Nullstelle besitzt.
Aufgabe 3: Sei n ∈ N und B = {x ∈ Rn : kxk2 ≤ 1} die abgeschlossene Einheitskugel. Zeigen
Sie, dass jede stetige Abbildung F : B → B einen Fixpunkt besitzt. (Hinweis: Approximieren
Sie F mit einer Folge stetig differenzierbarer Abbildungen (Fk : B → Rn )k∈N und skalieren Sie
diese mit max{1, supx∈B kFk (x)k2 }.)
Aufgabe 4: Geben Sie jeweils ein stetiges Vektorfeld auf S 2 an, welches genau zwei Nullstellen
bzw. genau eine Nullstelle besitzt. (Hinweis: Betrachten Sie im zweiten Fall ein geeignetes
Vektorfeld auf R2 und die stereographische Projektion
ϕ : S 2 \ {(0, 0, 1} → R2 : (x1 , x2 , x3 ) 7→
1
· (x1 , x2 )
1 − x3
bzw. deren Umkehrabbildung
ψ : R2 → S 2 \ {(0, 0, 1)} : (x, y) 7→
1
· (2x, 2y, x2 + y 2 − 1).
x2 + y 2 + 1
In welchem Unterraum von R3 liegt für x ∈ R2 jeweils das Bild von Dψ(x)?)
Abgabe von Aufgabe 2: Am Donnerstag, dem 28. Januar 2016, in der Vorlesung.

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