Ein Beweis des Satzes von Liouville von Prof. Ballmann

KONFORME METRIKEN UND SATZ VON LIOUVILLE
Hermann Karcher machte mich auf folgenden Beweis des Satzes von
Liouville über konforme (lokale) Diffeomorphismen zwischen offenen
Teilmengen des Rn aufmerksam.
1. Konforme Metriken und Levi-Civita-Zusammenhang
Sei g eine Riemannsche Metrik auf einer Mannigfaltigkeit M und g̃
eine zu g konforme Metrik. Schreibe
g̃ = e2f g.
Der Levi-Civita-Zusammenhang ∇ von g berechnet sich mit der Formel
von Koszul zu
2g(∇X Y, Z) = Xg(Y, Z) + Y g(X, Z) − Zg(X, Y )
(1)
− g(X, [Y, Z]) − g(Y, [X, Z]) + g(Z, [X, Y ]).
˜ von g̃,
Entsprechend berechnet sich der Levi-Civita-Zusammenhang ∇
˜ X Y, Z) = 2g̃(∇
˜ X Y, Z)
2e2f g(∇
= X(e2f g(Y, Z)) + Y (e2f g(X, Z)) − Z(e2f g(X, Y ))
− e2f {g(X, [Y, Z]) + g(Y, [X, Z]) − g(Z, [X, Y ])}
= 2e2f {g(∇X Y, Z) + X(f )g(Y, Z)
+ Y (f )g(X, Z) − Z(f )g(X, Y )}.
Nun ist Z(f ) = g(grad f, Z), und damit folgt
˜ X Y = ∇X Y + X(f )Y + Y (f )X − g(X, Y ) grad f.
(2)
∇
2. Konforme Metriken und zweite Fundamentalform
Sei S die zweite Fundamentalform einer Untermannigfaltigkeit N von
M bezüglich g. Seien X, Y tangential an N und Z ein zu N bezüglich g
senkrechtes Vektorfeld, nicht unbedingt normiert. Nach Definition von
S gilt dann
(3)
SZ (X, Y ) := g(S(X, Y ), Z) = g(∇X Y, Z).
Weil Z auch senkrecht zu N bezüglich g̃ ist, erhalten wir entsprechend
˜ X Y, Z)
S̃Z (X, Y ) = g̃(S̃(X, Y ), Z) = g̃(∇
= e2f {g(∇X Y, Z) − Z(f )g(X, Y )},
1
2
KONFORME METRIKEN UND SATZ VON LIOUVILLE
wobei S̃ die zweite Fundamentalform von N bezüglich g̃ bezeichnet.
Damit
(4)
S̃Z = e2f {SZ − Z(f )g}.
Insbesondere ist p ∈ N ein Nabelpunkt von N bezüglich g genau dann,
wenn p ein Nabelpunkt von N bezüglich g̃ ist.
3. Beweis des Satzes von Liouville
Wir zeigen jetzt, daß konforme Diffeomorphismen zwischen offenen
Teilmengen Euklidischer Räume der Dimension ≥ 3 Kompositionen
von Bewegungen und Möbiustransformationen sind. Seien dazu n ≥ 3,
U, V ⊆ Rn offene Teilmengen und φ : U → V ein konformer Diffeomorphismus, das heißt,
(5)
φ∗ g = e2f g,
wobei g die Euklidische Metrik des Rn bezeichnet. Nun sind alle Punkte
von offenen Teilen von Sphären und affinen Unterräumen in U Nabelpunkte bezüglich g, nach Abschnitt 2 damit ebenfalls bezüglich
g̃ = φ∗ g. Also bestehen die Bilder solcher Teile unter φ in V ebenfalls aus lauter Nabelpunkten bezüglich g und sind damit offene Teile
von Sphären und affinen Unterräumen in V — an dieser Stelle benützen
wir n ≥ 3. Die Behauptung folgt nun aus einem Satz von Möbius, siehe
Lemma 4.13 in [Sp3].
Literatur
[Sp3]
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, III.
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