D-MATH Prof. Dr. M. Schweizer Mass und Integral FS 2015 Serie 5 1. Beweisen Sie Proposition II.1.7. Ist (Ω, A) ein messbarer Raum, so sind für f : Ω → R äquivalent: 1. f ist messbar. R. {f < c} ∈ A , ∀c ∈ R. 2. {f ≤ c} ∈ A , ∀c ∈ 3. R dicht in R. {f < b} ∈ A , ∀b ∈ D, D ⊆ R dicht in R. {f ∈ E 0 } ∈ A , ∀E 0 ⊆ R offen. {f ∈ E 00 } ∈ A , ∀E 00 ⊆ R abgeschlossen. {a < f ≤ b} ∈ A , ∀a, b ∈ R , a < b. {f ≥ c} ∈ A , ∀c ∈ R. {f > c} ∈ A , ∀c ∈ R. ˜ D ˜⊆ 4. {f ≤ b} ∈ A , ∀b ∈ D, 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2. Sei f : R → R eine stetig differenzierbare Funktion und A := {x ∈ R : f 0 (x) = 0} . Zeigen Sie, dass f (A) eine Lebesgue-Nullmenge ist. R R Rn). Die Funk- 3. Seien µ ein Borelmass auf n (d.h. ein Mass auf B( n )) und G ∈ B( tion F : G × → genüge der Carathéodory-Bedingung, d.h. R R R ist µ-messbar für alle u ∈ R, F (x, ·) : R → R ist stetig für µ-fast alle x ∈ G, d.h. i) F (·, u) : G → ii) {x ∈ G : u 7→ F (x, u) ist nicht stetig} ⊆ N Rn) mit µ(N ) = 0. für eine Menge N ∈ B( Bitte wenden! Sei weiter u : G → R messbar. Zeigen Sie, dass f (x) := F (x, u(x)) ˜ für ein µ-fast messbar ist, d.h. es gibt eine messbare Funktion f˜ mit {f 6= f˜} ⊆ N n ˜ ∈ B( ) mit µ(N ˜ ) = 0. (Insbesondere: Falls µ vollständig ist, so ist f messbar.) N R • Vorbesprechung: Diese Serie wird am 20.03.2015 in den Übungen vorbesprochen. • Abgabetermin: Bis 25.03.2015, 12 Uhr, im Vorraum zum HG F 28. • Testatbedingung: Keine; der Inhalt der Übungen gehört aber auch zum Prüfungsstoff. • Präsenz: Mo, Mi und Do ist die Präsenz im HG G 19.1 oder HG G 19.2 zwischen 12 und 13 Uhr. Dort werden fachliche Fragen zur Vorlesung und den Übungen beantwortet. Übungsgruppen Assistent Alexandru-Dumitru Paunoiu Igor Uljarevic José Luis Hablützel Aceijas Louis Correia Soares Ort HG D 5.1 (EN) HG E 33.5 (EN) HG D 3.3 (DE) HG D 3.1 (DE) Zeit Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Informationen zur Vorlesung und den Übungen sind unter: http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/math/massuint Bei Fragen zu den Übungen oder dem Übungsbetrieb wendet euch an: Luca Galimberti, [email protected].