Sommersemester 2004 14. Mai 2004 Übungen zur Theoretischen Physik III: Quantenmechanik 3. Folge 6. Mittelwerte und Energiesatz: Epot = Z Es sei d3 x |ψ(t, x)|2 U (x) , wo U (x) eine klassische potentielle Energie (für ein Teilchen) ist, die nicht von der Zeit abhängt. Unter Verwendung der Schrödinger-Gleichung berechnen Sie d Epot /dt und zeigen Sie, dass d Epot + Tkin = 0 . dt 7. Operator des Impulses in einer Raumdimension: Der Einfachheit halber betrachten wir den Operator p = (~/i)(d/dx) in nur einer Dimension. Dieser Operator ist selbstadjungiert, wenn man durch partielle Integration zeigen kann, dass Z d3 x ψ1∗ p ψ2 = Z ∗ d 3 x p ψ1 ψ 2 (1) für hinreichend viele quadratintegrierbare Funktionen ψk ∈ L2 (R) gilt. Formal ist dies sicher richtig. Dass man aber doch genauer hinsehen muss, sollen die folgenden Rechnungen zeigen. 7.1 Es werden quadratintegrable Funktionen f betrachtet, die auf dem Intervall [0, 1] der reellen Achse absolut stetig sind und deren Ableitung f 0 ebenfalls quadratintegrabel ist, in Symbolen f ∈ L2 ([0, 1]) f absolut stetig , f 0 ∈ L2 ([0, 1]) . [Absolut stetig heiÿt: f ist auf [0, 1] absolut stetig, wenn es auf diesem Intervall eine integrierbare Funktion g gibt derart, dass f (x) = x Z 0 dt g(t) + f (0) . Eine solche Funktion ist fast überall sowohl stetig als auch dierenzierbar. Sie kann somit beim partiellen Integrieren verwendet werden. ] Für solche Funktionen gilt Gl. (1) nicht, es sei denn, man betrachtet die Untermenge derjenigen Funktionen, die die Relation f (1) = eiα f (0) , mit beliebigem reellen α erfüllen. 7.2 Schränken Sie die auf ganz R quadratintegrablen Funktionen auf diejenigen ψi (x) ein, die für |x| → ∞ stärker als jede inverse Potenz abklingen. Zeigen Sie, dass jetzt Gl. (1) gilt. Mit der Korrespondenz E ↔ i~∂/∂t, p ↔ (~/i)∇ folgt aus der relativistischen Energie-Impulsbeziehung E 2 = c2 p2 + (mc2 )2 eine Wellengleichung. 8.1 Stellen Sie diese Gleichung, die sog. Klein Gordon-Gleichung auf und betrachten Sie ebene Wellen als Lösungen dieser Dierentialgleichung. 8.2 Für eine Lösung Φ(t, x) der Klein Gordon-Gleichung werde 8. Relativistische Wellengleichung: i Φ(t, x) = exp{− mc2 t}ψ(t, x) ~ angesetzt. In welcher Näherung folgt die Schrödinger-Gleichung aus der Klein GordonGleichung? Abgabe: Freitag, den 21. Mai 2004 in der Vorlesung