¨Ubung zur Analysis 2 Blatt 4 Zusatzaufgabe 5. Seien (X, d X) und (Y

Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
Übung zur Analysis 2
Blatt 4
Zusatzaufgabe 5. Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume, D ⊆ X eine Teilmenge, die dicht in X ist in dem Sinne, dass D = X, und sei f : D → Y gleichmäßig
stetig und (Y, dY ) vollständig. Zeigen Sie:
(a) Sei (xn )n eine Cauchy-Folge in D. Dann ist (f (xn ))n eine Cauchy-Folge in Y .
Lösung: Sei > 0 gegeben. Da f gleichmäßig stetig ist, existiert ein δ > 0 mit
dX (x, x0 ) < δ
⇒
dY (f (x), f (x0 )) < .
Nach Annahme existiert ein N mit dX (xn , xm ) < δ für alle n, m ≥ N , und es folgt
dY (f (xn ), f (xm )) < für alle n, m ≥ N .
(b) Es gibt genau eine stetige Funktion F : X → Y , die f fortsetzt, also F |D = f
erfüllt, und dieses F ist gleichmäßig stetig.
Lösung: Eindeutigkeit: Sei x ∈ X. Da D dicht ist, existiert eine gegen x konvergente Folge (xn )n in D und dann muss F (x) = limn f (xn ) gelten.
Existenz: Sei x ∈ X. Dann gibt es eine gegen x konvergente Folge (xn )n in D.
Diese ist eine Cauchy-Folge. Nach (a) ist auch (f (xn ))n eine Cauchy-Folge. Da Y
vollständig ist, konvergiert diese gegen ein y ∈ Y .
Ist (x0n )n eine weitere gegen x konvergente Folge in D, so konvergiert auch die
Folge (x1 , x01 , x2 , x02 , . . .) gegen x, ist also eine Cauchy-Folge und wird durch f
nach (a) auf eine Cauchy-Folge abgebildet. Somit ist limn f (xn ) = limn f (x0n ) und
y =: F (x) unabhängig von der Wahl der Folge (xn )n .
Gleichmäßige Stetigkeit von F : Sei > 0 gegeben. Da f gleichmäßig stetig ist,
gibt es ein δ > 0 mit
dX (x, x0 ) < δ
⇒
dY (f (x), f (x0 )) < /3.
Seien x, x0 ∈ X mit dX (x, x0 ) < δ/3. Da D dicht ist, finden wir d, d0 ∈ D mit
dX (x, d) < δ/3 und dX (x0 , d0 ) < δ/3. Es folgt dX (d, d0 ) < δ und dY (f (d), f (d0 )) <
/3. Nach Konstruktion von F folgt auch dY (F (x), f (d)) < /3 und dY (F (x0 ), f (d0 )) <
(3) und somit dY (F (x), F (x0 )) < .
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