Prof. Dr. I. Steinwart Dr. R. Walker Dr. D. Zimmermann M.Sc. A. Reiswich Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Blatt 7 Höhere Mathematik II 25.05.16 el, kyb, mecha, phys Vortragsübungen Aufgabe 24. Gegeben seien die Vektoren 0 1 0 0 v1 = v2 = 1 , 0 , 1 1 1 1 v3 = 0 , 1 2 1 x= 0 0 im R4 . W sei der Unterraum von R4 , der von den Vektoren v1 , v2 , v3 aufgespannt wird. (a) Geben Sie eine Orthonormalbasis b1 , b2 , b3 von W an. (b) Berechnen Sie die Orthogonalprojektion des Vektors x auf W . (c) Geben Sie die Komponenten des Vektors x in Richtung der Vektoren b1 , b2 , b3 an. (d) Schreiben Sie den Vektor x als eine Summe x = u + v , wobei u senkrecht auf W steht und v in W liegt. Aufgabe 25. Sei C[a, b] der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall [a, b]. (a) Zeigen Sie, dass für f, g ∈ C[a, b] durch Z hf, gi = b f (x)g(x)dx a ein Skalarprodukt auf C[a, b] erklärt ist. (b) Zeigen Sie ,dass für f, g ∈ C[a, b] die folgende Ungleichung gilt: Z b b Z 2 f (x)g(x)dx 5 a 21 Z 2 12 g(x) dx f (x) dx a b a Aufgabe 26. Sei V ein Vektorraum über C mit Skalarprodukt h·, ·i. Zeigen Sie , dass für v, w ∈ V die komplexe Polarisations-Formel gilt: 4hv, wi = kv + wk2 − kv − wk2 + i kv − iwk2 − i kv + iwk2 1
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