Serie 4

Analysis II – Sommer 2016
Prof. Dr. George Marinescu / Dr. Frank Lapp
Serie 4 – Abgabe in der Woche: 9.-11. 5. (in den Übungen)
Aufgabe 1
4 Punkte
1
Sei C ([0, 1]) der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf [0, 1]. Für
f ∈ C 1 ([0, 1]) seien
Z
kf k1 =
1
|f (t)| dt,
0
kf k = sup |f (t)|
und
t∈[0,1]
|||f ||| = |f (0)| + sup |f 0 (t)|
t∈[0,1]
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass |||·||| eine Norm ist.
b) Zeigen Sie, dass eine bzgl. k·k konvergente Folge auch bzgl. k·k1 konvergiert und dass
eine bzgl. ||| · ||| konvergente Folge auch bzgl. k·k konvergiert.
c) Untersuchen Sie die Konvergenz der Folgen fn (t) = tn , gn (t) =
Normen. Sind diese Normen äquivalent?
Aufgabe 2
Sei d eine beliebige Metrik auf
1
n
R. Beweisen Sie, dass dann auch
˜ y) =
d(x,
sin nt bzgl. der drei
4 Punkte
d(x, y)
1 + d(x, y)
eine Metrik ist. Eine Metrik d auf einem Vektorraum V heißt translationsinvariant, wenn
d(x + a, y + a) = d(x, y),
∀x, y ∈ V und a ∈ V.
˜ y) translationsinvariant ist, falls d diese Eigenschaft erfüllt.
Prüfen Sie nach, ob d(x,
Aufgabe 3
Zeigen Sie
4 Punkte
R
R
a) Eine Folge (xk )k∈N ⊂ n ist genau dann Cauchyfolge in n , wenn für i = 1, . . . , n
t
die Koeffizientenfolgen (xik )k∈N Cauchyfolgen sind, wobei xk = x1k · · · xnk .
b) Für a, b, c, d, e, f ist der Quader [a, b] × [b, c] × [e, f ] ⊂
der induzierten Euklidischen Metrik vollständig.
1
R3 als metrischer Raum mit
Zusatzaufgabe
+4 Punkte
Sei X eine Menge und (Y, k · k) ein Banachraum. Der Raum der beschränkten Funktionen
von X nach Y ist definiert als
B(X, Y ) = {f : X → Y | ∃Cf > 0 : kf (x)k ≤ Cf ∀x ∈ X} ,
kf kB := sup kf (x)k.
x∈X
Zeigen Sie, dass auch (B(X, Y ), k · kB ) ein Banachraum ist.
2

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