Übungen zu Vektorräumen, Linearer Unabhängigkeit, Basis und Koordinaten 1.  a  a  c   a + c  Bildet die Menge der 2-Tupel   , a,b ∈ ℝ, zusammen mit der Addition   +   =   und der skalaren Multi b  b   d  b + d  a  k ⋅ a plikation k ⋅   =   , k ∈ ℝ, einen Vektorraum über ℝ?  b  b  2. Zeige zunächst (nur mit den Axiomen eines Vektorraums), dass für den Nullvektor eines Vektorraums V über ℝ gilt: r r r ⋅ o = o für alle r ∈ ℝ. r r r Zeige dann, dass in diesem Vektorraum gilt: r ⋅ (− a) = − (r ⋅ a) für alle r ∈ ℝ und a ∈ V. 3. a und Zeige, dass die Menge L aller Vektoren eines Vektorraums V, die sich als Linearkombination zweier Vektoren   b darstellen lassen, ein Unterraum von V ist. 4.  x   x     Sind U1 =   1  / x, z ∈ ¡  und U2 =   y  z   x +         3  / x, y ∈ ¡  Untervektorräume des ℝ ?  y   5. a,  a,  Die Vektoren  b und  b , c sind linear unabhängig. Sind es auch  b , und c ? 6.  2    Für welche Werte von x ist B1 =   1    − 4    1   , 2  0    x    ,  4   keine Basis des ℝ3? Genaue Begründung!  8     2   1     Bestimme die Koordinaten des Vektors  0  bezüglich der Basis B 2 =   3    − 1  0     7.  2   Gegeben sind die Vektoren  0  1   1    ,  − 1 1     2   , 0   − 1    3    ,  − 1   des ℝ3.  0    1   ,  1  des ℝ3 .  0   a) Zeige, dass sie keine Basis des ℝ3 bilden. b) Welche weiteren Schlüsse, die drei Vektoren und die übrigen Vektoren des ℝ3 betreffend, lassen sich aus dieser Tatsache ziehen? Erläutere und begründe Deine Aussagen jeweils an einem Beispiel. c) Welche Dimension hat der von den drei gegebenen Vektoren aufgespannte Vektorraum?  2   d) Wie sind x und y zu wählen, dass  0  1   1    ,  − 1 1     x   ,  y  linear unabhängig sind?  0   e) Wieso bilden sie dann eine Basis des R3 ? 8. 1    Der Vektor a hat bzgl. der Basis B1 =   1    0    1   0      ,  0   1   des ℝ3 die Koordinaten a1 = 1, a2 = – 1 und a3 = 1. 1 1     1    Berechne seine Koordinaten a1’, a2’ und a3’ bzgl. der Basis B2 =   2    − 3   9.  2   − 3      ,  − 3  1   . 1   2      Beweise mit Hilfe der Linearen Unabhängigkeit von Vektoren den Satz: In einem Trapez teilen sich die Diagonalen im Verhältnis der Längen der Parallelseiten. (Wie folgt dieser Sachverhalt elementargeometrisch?) ,  10. Die Vektoren  OB= b und OA =a S ist der Schwerpunkt des Dreiecks a, Drücke den Vektor  OS durch   OC =c spannen das Tetraeder OABC mit der Spitze O und der Grundfläche ABC. ABC, der bekanntlich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.  b und c aus.