Blatt 4 - Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. R. Walker
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. A. Reiswich
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 4
Höhere Mathematik II
06.05.16
el, kyb, mecha, phys
Gruppenübungen
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 06.05.2016 in den
Übungsgruppen.
Aufgabe 16. (schriftlich)
(a) Wie muss α ∈ R gewählt werden, so dass die folgenden Vektoren linear unabhängig sind?
 
 
 
α
1
0
 1  , α , −1 .
4
0
8
(b) Gegeben seien die Matrizen
A= 1 2 ,
1
B=
,
2
1 0
C=
,
2 3
D=
2 0 1
.
4 1 3
Geben Sie an, welche der folgenden Matrixprodukte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls:
AB, BA, CD, DC, DC > , D> C, D> D, DD> .
Aufgabe 17. Let V, W be K-vector spaces, v1 , . . . , vn ∈ V and T : V → W a linear mapping.
Are the following statements true in general? Give proofs or present counter examples.
(a) If v1 , . . . , vn are linearly independent, then T (v1 ), . . . , T (vn ) are linearly independent.
(b) If v1 , . . . , vn are linearly independent, then T (v1 ), . . . , T (vn ) are linearly dependent.
(c) If v1 , . . . , vn are linearly independent and T is injective, then T (v1 ), . . . , T (vn ) are linearly
independent.
Aufgabe 18. Gegeben seien


1+i
v1 =  2i  ,
0


2
v2 = 3 + 3i ,
i


0
v3 = 1 − i .
1
Bestimmen Sie jeweils die Dimension von U = span{v1 , v2 , v3 } j C3 , indem Sie C3 einmal als
Vektorraum über R und einmal als Vektorraum über C betrachten.
Aufgabe 19. Gegeben sei die Ebene E := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 − x2 = 0}. Die (lineare) Abbildung S : R3 → R3 sei die Spiegelung an der Ebene E . Geben Sie die zugehörige Abbildungsmatrix
von S bezüglich der Standardbasis des R3 an.
1
Aufgabe 20. Es sei wieder E dieselbe Ebene wie in Aufgabe 19 und S : R3 → R3 die Spiegelung
an E .
(a) Bestimmen Sie linear unabhängige Spannvektoren v1 , v2 von E und einen Normalenvektor
n von E .
(b) Zeigen Sie, dass v1 , v2 , n eine Basis des R3 bilden.
(c) Geben Sie die Abbildungsmatrix von S bezüglich der Basis (v1 , v2 , n) an.
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