Grundkurs Mathematik S2 M8 2004-2005 Lineare (Un)- Abhängigkeit Man nennt eine (endliche) Menge von Vektoren linear abhängig, wenn es möglich ist, zumindest einen dieser Vektoren als Linearkombination (siehe M7) der anderen auszudrücken. Ist das nicht möglich, so heißen die Vektoren linear unabhängig. Beispiel: Stellen sie den Vektor b als Linearkombination der Vektoren a und c dar.  3 13  2       a =  2 , b =  2 , c =  4  1 7  5       Einige Kriterien für lineare Abhängigkeit: In jeder Dimension gilt: 1. Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie zueinander parallel (kollinear) sind. V= V 2. V= Für ebene Vektoren gilt: Eine Menge von drei ebenen Vektoren ist immer linear abhängig. 2 3. Für räumliche Vektoren gilt: Drei räumliche Vektoren sind linear abhängig, wenn sie (als Ortsvektoren aufgefasst) in einer Ebene liegen. (Man nennt sie dann komplanar). Eine Menge von vier räumlichen Vektoren ist immer linear abhängig. Die „Dimension“ ist ein Begriff, der zumindest in Gestalt der Bezeichnungen "zweidimensional" und "dreidimensional" intuitiv einleuchtet. Sie kann formal definiert werden als die maximale Zahl von Vektoren, die eine linear unabhängige Menge bilden können. Damit hat eine Gerade die Dimension: _________ eine Ebene die Dimension: ________ ein Raum die Dimension: _________ Aufgaben: 0 1 1 2         1. Stelle den Vektor d =  3  als Linearkombination von a =  1  d =  2  d =  1  dar.  5 2 1 1          0   1   5  3          2. Zeige, dass die Vektoren b =  − 11 a1 =  − 3 a 2 =  2  a3 =  5  linear abhängig sind.  9   0  1  − 4         1   3. Stelle den Vektor d = 10  als Linarkombination der Vektoren 6   2 3  − 1       a =  1  b =  1  c =  3  dar. 1  − 1  − 3         5   4     1    b =2 c =  0  a = 1 x = 5     Zeige, dass die Vektoren linear abhängig sind. −8 −1 4 −3         3 4.