Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3

Aufgabe 1
Sei Ri das Ereignis, dass das Flugzeug in Region i abgestürzt ist (i = 1, 2, 3) und
E das Ereignis, dass die Suche in Region 1 erfolglos war. Dann sind P[Ri | E]
für i = 1, 2, 3 die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Gegeben ist P[Ri ] = 13 für
i = 1, 2, 3; außerdem gilt P[E | R1 ] = β1 (gegeben), P[E | R2 ] = 1, P[E | R3 ] = 1
(das Flugzeug kann nicht in Region 1 gefunden werden, wenn es in Region 2
bzw. 3 abgestürzt ist). Damit gilt nun nach Bayes
β1
P[E | R1 ]P[R1 ]
=
P[R1 | E] = P3
β1 + 2
i=1 P[E | Ri ]P[Ri ]
1
P[E | R2 ]P[R2 ]
=
P[R2 | E] = P3
β
1+2
i=1 P[E | Ri ]P[Ri ]
P[E | R3 ]P[R3 ]
1
P[R3 | E] = P3
=
β1 + 2
i=1 P[E | Ri ]P[Ri ]
Bemerke, dass unabhängig von den konkreten Werten für βi die Abschätzungen
P [R1 | E] < 13 und P[R2 | E] = P[R3 | E] > 31 gelten.
Aufgabe 2
Für 1, . . . , 4 sei ωi das Ereignis, dass die i-te Seite des Tetraeders unten liegt.
Dann gilt
A1 = {ω1 , ω4 }, A2 = {ω2 , ω4 }, A3 = {ω3 , ω4 }.
Aufgrund der Symmetrie des Tetraeders, ist das Werfen ein Laplace-Experiment,
d.h. es gilt P[ωi ] = 41 für i = 1, . . . , 4 und damit P[Aj ] = 12 für j = 1, 2, 3.
a) für j, k = 1, 2, 3 mit j 6= k gilt
P[Aj ∩ Ak ] = P[ω4 ] =
1
1 1
= · = P[Aj ]P[Ak ],
4
2 2
d.h. Aj und Ak sind unabhängig.
b) Es gilt
P[A1 ∩ A2 ∩ A3 ] = P[ω4 ] =
1 1 1
1
6= · · = P[A1 ]P[A2 ]P [A3 ]
4
2 2 2
d.h. A1 , A2 , A3 sind nicht unabhängig.
Das Beispiel zeigt, dass paarweise Unabhängigkeit von Ereignissen schwächer
ist als Unabhängigkeit.
Aufgabe 3
Die zufällig Auswahl einer Familie können wir als Laplace-Experiment modellieren. Sei H das Ereignis, dass die ausgewählte Familie einen Hund besitzt,
und K das Ereignis, dass sie eine Katze besitzt. Gegeben sind P[H] = 0.36,
P[K] = 0.3 und P[K | H] = 0.22.
1
a) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
P[H ∩ K] = P[K | H]P[H] = 0.22 · 0.36 = 0.0729
b) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
P[H | K] =
P[H ∩ K]
P [H ∩ K] P[H]
P[H]
0.36
=
·
= P[K | H] ·
= 0.22
= 0.264
P[K]
P[H]
P [K]
P[K]
0.3
(Unter Verwendung von a) kann man die Rechnung noch abkürzen.)
Aufgabe 4
Sei Ei das Ereignis, dass die i-te Münze geworfen wird (i = 1, . . . , 10) und K
das Ereignis, dass die geworfene Münze Kopf zeigt. Die zufällige Auswahl der
Münze ist ein Laplace-Experiment, d.h. P[Ei ] = 0.1, ferner ist P[K | Ei ] = i/10
für i = 1, . . . , 10 gegeben. Nach Bayes gilt
P[K | Ei ]P[Ei ]
i/100
i
i
P[Ei | K] = P10
= P10
= P10
=
55
j=1 P[K | Ej ]P[Ej ]
j=1 j/100
j=1 j
Insbesondere ist also
geworfen wurde.
5
55
≈ 0.09 die Wahrscheinlichkeit, dass die fünfte Münze
2

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