Aufgabe 7 Gegeben seien Realisationen y1,...,yn von unabhängig

Statistik III für Nebenfachstudierende
Ludwig Bothmann, Sabrina Enzinger
Übungsblatt 5
WiSe 2015/16
Aufgabe 7
Gegeben seien Realisationen y1 , . . . , yn von unabhängig und identisch Bernoulli-verteilten
iid
Zufallsvariablen Y1 , . . . , Yn ∼ B(π), wobei 0 < π < 1 unbekannt ist. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen lautet:
P (Y = y) = π y (1 − π)1−y .
(a) Bestimmen Sie die Likelihood L(π) sowie die Log-Likelihood l(π) für die Stichprobe.
(b) Bestimmen Sie die Scorefunktion s(π) und berechnen Sie den ML-Schätzer π
bM L für den
unbekannten Parameter π.
(c) Bestimmen Sie die beobachtete Fisher-Information Fobs (π) sowie die erwartete FisherInformation F (π).
(d) Vergleichen Sie die beobachtete Fisher-Information an der Stelle des ML-Schätzers
Fobs (b
πM L ) mit der erwarteten Fisher-Information an der Stelle des ML-Schätzers F (b
πM L ).
(e) Berechnen Sie den asymptotischen Standardfehler des ML-Schätzers π
bM L .
Datum: 17.11.2015
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