Prof. Dr. Rainer Dahlhaus Wahrscheinlichkeitstheorie 1

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
11. Übungsblatt
Aufgabe 41 (Martingaldekomposition, 4 = 2 + 2 Punkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei (εi )i∈Z eine i.i.d. Folge von reellwertigen Zufallsvariablen auf (Ω, A). Viele stochastische Prozesse (Xi )i∈ZNlassen sich darstellen als BernoulliShifts, d.h. es gibt eine (messbare) Abbildung h : (RN , n∈N BR ) → (R, BR ) sodass für alle
i ∈ Z:
Xi := h(εi , εi−1 , εi−2 , ...) P − f.s.
Definiere Fi := σ(εk : k ≤ i).
(a) Es gelte supi∈N E|Xi | < ∞. Es sei Pj · := E[·|Fj ] − E[·|Fj−1 ] der Projektionsoperator.
Zeigen Sie: Für jedes i ∈ N gilt E[Xi |Fi−k ] → EXi P-f.s. und
Xi − EXi =
∞
X
Pi−k Xi
P − f.s.
k=0
(b) Es gelte supi∈N E|Xi |2 < ∞. Es existiere eine absolut summierbare Folge (θ(k))k∈N0 , so
dass für alle k ∈ N0 gilt: supi∈Z kPi−k Xi k2 ≤ θ(k). Wir definieren für n, K ∈ N und
t ∈ [0, 1]:
bntc
1 X
(Xi − E[Xi ]),
Sn (t) := √
n i=1
Sn(K) (t)
:=
K−1
X
k=0
bntc
1 X
√
Pi−k Xi .
n i=1
Zeigen Sie:
lim sup lim sup sup |Sn (t) − Sn(K) (t)|2 = 0.
K→∞
n→∞
t∈[0,1]
Das bedeutet, dass die Abbildung t 7→ Sn (t) gleichmäßig durch eine Summe von Martin(K)
galen t 7→ Sn (t) approximiert werden kann.
Hinweis: Nutzen Sie ohne Beweis, dass kXk2 := E[X 2 ]1/2 die Dreiecksungleichung erfüllt,
und verwenden Sie Aufgabe 43(b).
Aufgabe 42 (Ein starkes Gesetz für unabhängige, nicht notwendig identisch verteilte
Zufallsvariablen, 4 = 2.5 + 1.5 Punkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Fn )n∈N0 eine Filtration auf (Ω, A). Sei (Mn )n∈N0
ein Martingal bzgl. (Fn )n∈N0 und (Dn )n∈N mit
Dn := Mn − Mn−1
die zugehörige Martingaldifferenzenfolge.
P
E[Dk2 ]
(a) Es gelte ∞
k=1 k2 < ∞. Zeigen Sie, dass dann gilt:
n
1X
Dk → 0 P − f.s.
n k=1
1
Hinweis: Nutzen Sie den Martingalkonvergenzsatz und ohne Beweis Kroneckers Lemma:
Sind (xn )n∈N , (an )n∈N zwei reellwertige P
Folgen und (an )n∈N nichtnegativ und
P monoton
wachsend gegen ∞, dann gilt: Ist limn→∞ nk=1 xakk = z ∈ R, so ist limn→∞ a1n nk=1 xk = 0.
(b) Folgern Sie mittels (a) folgende Variante des starken Gesetzes der großen Zahlen: Sei
(εk )k∈N eine Folge von unabhängigen, reellwertigen Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) und es
existiere C > 0, ε > 0, sodass für alle k ∈ N gilt: Var(εk ) ≤ Ck 1−ε . Dann ist
n
1 X
εk − Eεk → 0 P-f.s.
n k=1
Aufgabe 43 (Der Lp -Konvergenzsatz für Martingale, 4 = 1.5 + 1 + 1.5 Punkte).
Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Fn )n∈N eine Filtration auf (Ω, A). Weiter sei
(Xn )n∈N ein Martingal bzgl. (Fn )n∈N mit der Eigenschaft supn∈N E|Xn |p < ∞, wobei p > 1.
(a) Zeigen Sie, dass für Yn := sup1≤m≤n |Xm | und ein festes M ∈ N gilt:
p
E[(Yn ∧ M )p ] ≤
E |Xn | · (Yn ∧ M )p−1 ].
p−1
Hinweis: Nutzen Sie die Doob-Ungleichung und das Resultat von Blatt 7, Aufgabe 26(a).
p
p
(b) Folgern Sie aus (a): E[Ynp ] ≤ p−1
· E[|Xn |p ].
Hinweis: Hölder-Ungleichung auf die rechte Seite des Resultats von (a) und M → ∞.
(p)
(c) Zeigen Sie: Es existiert ein X : Ω → R mit E[|X|p ] < ∞ und Xn → X P-f.s. und Xn → X.
Hinweis: Wenden Sie den Satz von der dominierten Konvergenz auf E[|Xn − X|p ] an.
Aufgabe 44 (0-1-Gesetze, 4 = 2 + 0.5 + 1 + 0.5 Punkte).
Sei (Ω, A,SP) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Fn )n∈N eine Filtration auf (Ω, A). Definiere
F∞ := σ( n∈N Fn ).
(a) Diese Aussage ist verwandt mit Satz 5.29 der Vorlesung. Sei X : (Ω, A) → (R, BR ) eine
reellwertige Zufallsvariable mit E|X| < ∞. Zeigen Sie
E[X|Fn ] → E[X|F∞ ] P-f.s. und in L1 .
Hinweis: Nutzen Sie Satz 5.29 und Lemma 5.30 der Vorlesung, um E[X|Fn ] → Y P-f.s.
und in L1 mit einer Zufallsvariable Y zu zeigen. Überlegen Sie sich, dass Sie o.B.d.A.
A = F∞ annehmen können und zeigen Sie dann Y = E[X|F∞ ] mit der Charakterisierung
des bedingten Erwartungswerts.
(b) Das Levy’sche 0-1-Gesetz: Sei A ∈ F∞ . Zeigen Sie: E[1A |Fn ] → 1A P-f.s.
Sei nun (Xn )n∈N eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) und T :=
k ≥ n) die so genannte σ-Algebra der terminalen Ereignisse.
T
n∈N
σ(Xk :
(c) Das Kolmogorov’sche 0-1-Gesetz: Zeigen Sie: Für A ∈ T gilt P(A) ∈ {0, 1}.
Hinweis: Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ N die Menge A unabhängig von Fn := σ(Xk : k ≤
n) ist und nutzen Sie (b).
(d) Sei X : (Ω, A) → (R, BR ) eine reellwertige Zufallsvariable mit X ∈ T . Zeigen Sie: Es gibt
c ∈ R mit X = c P-f.s. (d.h. X ist konstant P-f.s.).
Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den 07. Juli 2016, 09:15 Uhr vor Beginn
der Vorlesung in den Zettelkästen 33 bzw. 34 in INF205, Etage 1.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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