HA 2 - Universität zu Köln

Universität zu Köln
WS 2015/16
Institut für Mathematik
Dozent: Prof. Dr. A. Drewitz
Abgabe: 12.11. & 13.11. vor den Übungen
2. Übung Einführung in die Stochastik
(Wahrscheinlichkeitsräume, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit)
Hausaufgaben
1. Aufgabe
(6 Punkte)
Falls (Aλ )λ∈Λ eine Familie unabhängiger Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) ist und f ∈ {0, 1}Λ , so ist auch die Familie definiert durch
Bλ :=
Aλ ,
Acλ ,
if f (λ) = 0,
if f (λ) = 1,
unabhängig.
2. Aufgabe
(4 Punkte)
In einer Klausur gibt es “multiple-choice”-Fragen, bei denen jeweils genau eine von vier möglichen Antworten richtig ist. Wir nehmen an, dass Anne bei
jeder Frage mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% die richtige Antwort weiss
und andernfalls rät. Boris weiss die richtige Antwort bei jeder Frage mit einer
Wahrscheinlichkeit von 50% und rät sonst ebenfalls.
(i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anne die erste Frage richtig
beantwortet?
(ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Boris die erste Frage richtig
beantwortet?
(iii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anne die richtige Antwort wusste, gegeben dass sie richtig geantwortet hat?
(iv) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Boris die richtige Antwort wusste, gegeben dass er richtig geantwortet hat?
3. Aufgabe
(0 Punkte)
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und es seien A, B, C ∈ A unabhängige Ereignisse. Man beweise oder widerlege:
(i) A und B ∩ C sind unabhängig.
(ii) A \ C und B \ C sind unabhängig.
(iii) A ∪ B und C sind unabhängig.
(iv) A ∩ B c und B ∩ B c sind unabhängig.
4. Aufgabe
(0 Punkte)
Es sei P die Menge der Wahrscheinlichkeitmaße auf einer abzählbaren Menge
Ω. Zeigen Sie:
(i) P ist konvex.
(ii) Beschreiben Sie die Extremalpunkte von P, und zeigen Sie, dass sich jedes
P ∈ P als Mischung von Extremalpunkten darstellen läßt, d.h.
X
P =
αi P i
i
mit αi ≥ 0,
P
i
αi = 1, Pi extremal.
Dabei ist Q ∈ P Extremalpunkt, falls aus αQ1 + (1 − α)Q2 = Q für
α ∈ (0, 1), Q1 , Q2 ∈ P folgt, dass Q = Q1 = Q2 ist.
5. Aufgabe
(0 Punkte)
(i) Es sei D = {D1 , D2 , . . .} eine abzählbar unendliche Zerlegung von Ω
und F die kleinste σ-Algebra, welche D enthält (siehe Präsenzübung für
Wohldefiniertheit; sie wird dann auch mit σ(D) bezeichnet). Beweisen
Sie, dass F überabzählbar unendlich viele Elemente enthält.
(ii) Folgern Sie aus (a), dass es keine σ-Algebra mit abzählbar unendlich
vielen Elementen gibt.
Hinweis zu (a): Jede Folge x = (x1 , x2 , . . .) mit xi ∈ {0, 1} kann mit der Menge
D x = D1x1 ∪ D2x2 ∪ . . . identifiziert werden. Dabei ist Dixi = ∅, wenn xi = 0, und
Dixi = Di , wenn xi = 1.
Gesamtpunktzahl: 10
Anmerkung: Es sind nur die Aufgaben einzureichen, welche strikt positive
Punktzahlen haben. Sollten Sie für eine Aufgabe mehrere Blätter benötigen,
so sind diese zusammenzuheften. Bitte beschriften Sie Ihre Lösungen in der
ersten Zeile in der folgenden Reihenfolge: Gruppe, Name, Aufgabe.
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