Statistik III - Schätzen und Testen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
FAKULTÄT STATISTIK
Dr. Th. Ziebach
M.Sc. R. Löser
Wintersemester 2015/16
05.11.2015
Blatt 4
Übungen zur Vorlesung
Statistik III - Schätzen und Testen
Info: Alle Aufgaben sind mit den bis zum 05.11.2015 behandeltem Vorlesungsinhalt lösbar.
Aufgabe 11
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit P Xi ∈ P = {Pθ ,
Xi , i = 1, . . . , n habe die Dichte fθ mit
θ > 0} und
fθ (x) = 2 · exp(−(x − θ)) · 1(θ,∞) (x).
Bestimmen Sie einen Momentenschätzer für θ.
Aufgabe 12
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit P X1 =Poi(λ), λ > 0.
(a) Bestimmen Sie einen Momentenschätzer für λ.
(b) Geben Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für λ an.
(c) Berechnen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer und einen Momentenschätzer für Pλ (X1 = 0).
Aufgabe 13
Gegeben seien unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn mit X1 ∼ R[−θ,θ] , θ > 0.
(a) Bestimmen Sie einen Momentenschätzer für θ.
(b) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für θ.
(c) Bestimmen Sie einen Momentenschätzwert und einen Maximum-Likelihood-Schätzwert für θ,
wenn Sie die folgenden Realisationen von X1 , . . . , Xn mit n = 7 vorliegen haben:
x1 = 2.66, x2 = −2.71, x3 = −1.21, x4 = 1.38, x5 = 1.90, x6 = −4.92, x7 = 4.55
Aufgabe 14
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen, die einer inversen Normalverteilung folgen. Das heißt, Xi , i = 1, . . . , n, hat die Dichte
r
λ
−λ(x − µ)2
· 1(0,∞) (x),
λ > 0, µ > 0.
fµ,λ (x) =
· exp
2πx3
2µ2 x
Zeigen Sie, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parametervektor θ = (µ,λ)0 bestimmt
ist durch TM L = (TµM L , TλM L )0 mit
TµM L = X n
und TλM L =
n
n P
i=1
wobei X n :=
1
n
n
P
1
Xi
−
1
Xn
,
Xi gilt.
i=1
Abgabe: Bis Freitag, 13.11.2015, 12 Uhr, in dem entsprechenden Briefkasten im Mathe-Foyer:
Mo 8.30 Uhr Briefkasten 138, Mo 16.05 Uhr und Di 8.30 Uhr Briefkasten 139,
Di 12.00 Uhr, Briefkasten 140.
Homepage zur Vorlesung: http://www.statistik.tu-dortmund.de/iwus-lehre.html

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