Tutoriumsblatt 4

Tutorium zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die induktive Statistik
Elisabeth Krätzschmar
Blatt 4
SS 2015
Aufgabe 16
In Aufgabe 13 (Übungsblatt 3) wurde die Zufallsvariable X betrachtet, welche die Anzahl der
Fehler, die während 12 Stunden an einem Digitalcomputer auftreten, beschreibt.
(a) Welche Verteilung hat unter den gleichen Voraussetzungen die Zufallsvariable Y =Wartezeit
auf den nächsten Fehler?
(b) Wie lange wird man im Mittel auf den nächsten Fehler warten?
(c) Während 12 Stunden ist kein Fehler aufgetreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
sich in den nächsten 12 Stunden ebenfalls kein Fehler ereignet?
Aufgabe 17
Von einer stetigen Zufallsvariable X, die von einem Parameter θ ∈ [− 21 , 12 ] abhängt, sei die Verteilungsfunktion gegeben

für x < −2
 0
1
1
2
(x + 2) + 8 θ(x − 4) für −2 ≤ x ≤ 2
F (x) =
 4
1
für −2 < x
(a) Wie lautet die Dichte f (x) von X?
(b) Welche Verteilung liegt für θ = 0 vor?
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X in Abhängigkeit von θ.
Aufgabe 18
Das statistische Bundesamt hält für die Wachstumsrate des Bruttosozialproduktes X alle Werte
2 ≤ x ≤ 3 prinzipiell für möglich und unterstellt für ihre Analyse folgende Funktion
c · (x − 2), 2 ≤ x ≤ 3
f (x) =
0,
sonst.
(a) Bestimmen Sie c derart, dass obige Funktion die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X ist.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X.
(c) Berechnen Sie P (2.1 < X) und P (2.1 < X < 2.8).
(d) Berechnen Sie P (−4 ≤ X ≤ 3|X ≤ 2.1) und zeigen Sie, dass die Ereignisse {−4 ≤ X ≤ 3}
und {X ≤ 2.1} stochastisch unabhängig sind.
(e) Bestimmen Sie den Erwartungswert, den Median und die Varianz.
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Aufgabe 19
Die Erlang-n-Verteilung wird häufig zur Modellierung von Einkommensverteilungen verwendet. Sie
ergibt sich als Summe von n unabhängigen mit Parameter λ exponentialverteilten Zufallsgrößen.
Beispielsweise hat für n = 2 die Dichte die Form
2 −λx
λ xe , x ≥ 0
f (x) =
0, sonst.
(a) Zeigen Sie, dass f (x) tatsächlich eine Dichtefunktion ist.
(b) Zeigen Sie, dass
F (x) =
0, x < 0
1 − e−λx (1 + λx), x ≥ 0
die zugehörige Verteilungsfunktion ist.
(c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Verteilung für beliebige n ∈ N
und λ ∈ R+
Aufgabe 20
Die täglichen Veränderungen des Kurses der GNB seien normalverteilt mit µ = 0 und Varianz 3.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die absolute tägliche Veränderung des Kurses
höchstens 1$?
(b) Gehen Sie davon aus, dass das Wertpapier mit einem Kurs von 2$ gestartet ist und dass die
täglichen Veränderungen unabhängige Zufallsvariablen X1 , X2 , ... mit der gleichen Verteilung
N(0,3) sind.
(i) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable Y =“Kurs des Wertpapiers nach 10 Tagen”?
(ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs an vier aufeinanderfolgenden Tagen
um jeweils mindestens 0.5$ fällt.
(c) Es sei Z die Anzahl der Werktage einer Woche, an denen der Kurs des Wertpapieres fällt.
(i) Welche Verteilung hat Z?
(ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Woche der Kurs häufiger steigt
als fällt?
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