Wiederholungsaufgaben zur Einführung in die Stochastik“ ” zusammengestellt von Carina Zeller und Andreas Meier Aufgabe 1 Aufgrund von Erfahrungen und statistischen Untersuchungen geht die Polizei davon aus, dass in einem Haus in einer Nacht mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.007 % eingebrochen wird. Wenn eingebrochen wurde, finden anschließend in 70 % der Fälle die Eigentümer ihre Haustür geöffnet vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Haustür geöffnet ist, wenn nicht eingebrochen wurde (z.B. weil der Eigentümer vergessen hat, die Tür abzuschließen) betrage 0.5 %. Herr Schuster geht an einem Abend mit seiner Familie ins Kino. (a) Wie wahrscheinlich ist es, dass seine Haustür geöffnet ist, wenn er nach Hause kommt? (b) Familie Schuster kommt nach Hause und sieht, dass die Tür geöffnet ist. Wie wahrscheinlich ist es, dass eingebrochen wurde? Aufgabe 2 Wir führen ein zweistufiges Experiment durch. Im ersten Schritt werfen wir einen fairen sechsseitigen Würfel. Das Ergebnis werde durch die Zufallsvariable Z beschrieben. Anschließend verfälschen wir eine Münze so, dass sie eine Erfolgwahrscheinlichkeit von Z6 hat. Diese Münze werfen wir nun achtmal und bezeichnen mit S die Anzahl der dabei auftretenden Erfolge. Berechnen Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel die Zahl z zeigte, gegeben die Anzahl der Erfolge beim Münzwurf ist k. Aufgabe 3 Es seien (pn )n∈N ⊂ (0, 1) eine reelle Zahlenfolge und (Xn )n∈N Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Dabei sei Xn Bernoulli-verteilt mit Parameter pn , d.h. P[Xn = 1] = pn = 1 − P[Xn = 0] für alle n ∈ N. Zeigen Sie: (a) Die Folge (Xn )n∈N konvergiert genau dann P-stochastisch gegen Null, wenn lim pn = 0. n→∞ (b) Gilt P∞ n=1 pn < ∞, so konvergiert die Folge (Xn )n∈N P-fast sicher gegen Null. (c) Sind die (Xn )n∈N unabhängig, dann gilt auch die Umkehrung von (b). (d) In (c) kann im Allgemeinen auf die Unabhängigkeit nicht verzichtet werden. Aufgabe 4 Ein Blinder steht vor einer Bombe, die jeden Moment explodieren kann. Es gibt drei rote und zwei blaue Drähte. Die Bombe wird genau dann entschärft, wenn erst ein roter, dann ein blauer, dann ein roter, dann ein blauer und abschließend wieder ein roter Draht durchgeschnitten wird. (a) Geben Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum an. (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Blinde die Bombe entschärft. 1 Aufgabe 5 Es werden n Briefe zufällig auf n Umschläge verteilt. Sei X die Anzahl der Briefe, die dabei im richtigen Umschlag landen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Hinweis: Ist Ω die Menge aller Permutationen ω : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} und P die Gleichverteilung auf Ω, so lässt sich X schreiben als X(ω) = n X 1{ω(i)=i} , i=1 d.h. als Anzahl der Fixpunkte einer zufälligen Permutation. Aufgabe 6 Für α > 0 und p ∈ (0, 1) seien N , X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen, wobei N Poissonverteilt mit Parameter α und PN die Xi für jedes i ∈ N Bernoulli-verteilt mit Parameter p seien. Weiter definieren wir Y := i=1 Xi und Z := N − Y . (a) Bestimmen Sie die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen von N , X1 , Y und Z. (b) Folgern Sie, dass Y und Z ebenfalls Poisson-verteilt sind und bestimmen Sie jeweils den Parameter. (c) Zeigen Sie, dass Y und Z unabhängig sind. Aufgabe 7 Wir betrachten zwei unabhängige auf dem Intervall [a, b] uniform verteilte Zufallsvariablen X und Y , wobei wir 0 < a < b annehmen. (a) Bestimmen Sie die Dichte von X 2 Y . (b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X 2 Y . Aufgabe 8 Sie werfen eine faire Münze fünfzig Mal. Schätzen Sie mit Hilfe der Chebyshev’schen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ab, weniger als zwanzig Mal oder mehr als dreißig Mal Kopf“ zu werfen. Wie groß ist der exakte Wert für diese Wahrscheinlichkeit? ” Aufgabe 9 Seien (Xi )i∈N Zufallsvariablen mit Var[Xi ] ≤ c < ∞ für alle i ∈ N und der Eigenschaft, dass jedes Xi höchstens von seinen Nachbarn Xi−1 und Xi+1 abhängt. Zeigen Sie, dass die Familie (Xi )i∈N einem schwachen Gesetz der großen Zahl genügt, d.h es gilt # " n 1 X lim P (Xi − E[Xi ])≥ ε = 0 für jedes ε > 0. n→∞ n i=1 2 Aufgabe 10 Ein Hotel habe 218 Betten. Der Hotelmanager weiß aus Erfahrung, dass eine Reservierung mit Wahrscheinlichkeit 20% annuliert wird. Generell nehmen wir hier an, dass alle Annulierungen unabhängig voneinander sind. Bestimmen Sie mittels einer Approximation durch den Satz von de Moivre-Laplace: (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle erscheinenden Gäste ein Bett bekommen, wenn die Hotelleitung 250 Reservierungen entgegennimmt? (b) Wie viele Reservierungen durch eine Kongressleitung darf der Hotelmanager entgegennehmen, wenn er dabei in Kauf nimmt, mit 2.5%-iger Wahrscheinlichkeit in Verlegenheit zu geraten? Aufgabe 11 Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) betrachten wir zwei Zufallsvariablen X, Y ∈ L1 (P). Beweisen oder widerlegen Sie (z.B. durch ein Gegenbeispiel) die folgenden Aussagen: (a) E[X] = E[Y ] =⇒ P[X = Y ] = 1. (b) E[|X − Y |] = 0 =⇒ P[X = Y ] = 1. (c) E[X 2 ] = E[Y 2 ] =⇒ P[X 2 = Y 2 ] = 1. Hinweis: Sie dürfen in (b) annehmen, dass X und Y N0 -wertig sind. 3