Institut für Theoretische Physik Universität zu Köln Prof. Dr. A. Rosch J. Lux TPII (Quantenmechanik) — Präsenzübung Sommersemester 2016 http://www.thp.uni-koeln.de/~lux/QMSS16/ 1. Halbachsen einer Ellipse Eine Ellipse in der zwei-dimensionalen (x, y) Ebene sei definiert durch ~rT M~r = 1, wobei ~rT = (x, y) und 2 1 M= . (1) 1 2 Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix M . Konstruieren Sie die Basistransformationsmatrix T , welche die Matrix M diagonalisiert: m1 0 M =T T −1 . (2) 0 m2 Zeigen Sie mit Hilfe der Basistransformation ~r̃ = T −1~r und ~r̃T = (x̃, ỹ), dass die Bestimmungsgleichung der Ellipse im neuen Koordinatensystem folgende Form annimmt: x̃2 ỹ 2 + 2 = 1. a2 b (3) a und b legen die Länge der Haupt- und Nebenachse fest. Bestimmen Sie a und b aus den Eigenwerten m1 und m2 . Zeichnen Sie die Ellipse in den ursprünglichen (x, y) Koordinaten. 2. Komplexe Matrixfunktion Betrachten Sie die Matrix H = ~Ω cos φ −i sin φ i sin φ cos φ . (4) Bestimmen Sie die Eigenwerte εn und die dazugehörigen (komplexen) Eigenvektoren Ψn mit n = 1, 2. Orthonormieren Sie die Eigenvektoren, so dass gilt: Ψ†n Ψm = δnm und Ψ†n = (ΨTn )∗ . (5) Benutzen Sie die Eigenvektoren um die Basistransformationsmatrix T zu konstruieren, welche die Matrix H diagonalisiert: ε1 0 H=T T −1 . (6) 0 ε2 1 3. Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen Betrachten Sie die Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen mit Masse m in einer Dimension i~ ∂ ~2 ∂ 2 Ψ(x, t). Ψ(x, t) = − ∂t 2m ∂x2 (7) Separieren Sie die Abhängigkeit von den Variablen x und t durch einen Produktansatz Ψ(x, t) = φ(x) χ(t). (8) Machen Sie einen Ansatz χ(t) = e−iωt für die Zeitentwicklung, und leiten Sie die stationäre (=zeitunabhängige) Schrödinger Gleichung für φ(x) her: − ~2 ∂ 2 φ(x) = ~ω φ(x). 2m ∂x2 (9) Lösen Sie Gl. (9) durch einen geeigneten Ansatz, φp (x) = eipx , und bestimmen Sie ω(p), sodass − ~2 ∂ 2 φp (x) = ~ω(p) φp (x). 2m ∂x2 (10) Da Gl. (7) linear ist, ist die Superposition (=Summe) zweier Lösungen auch eine Lösung. Bestimmen Sie die allgemeinste Lösung von Gl. (7). 4. Photoelektrischer Effekt Strahlt Licht der Frequenz ω auf einen Festkörper, so werden nur Elektronen aus dem Material herausgelöst falls die Frequenz eine Schwelle ωs überschreitet. Ist die Frequenz groß genug, d. h. ω > ωs , so wird dieser Effekt auch für kleine Lichtintensitäten beobachtet. Diskutieren Sie warum diese Beobachtung der klassischen Vorstellung von Licht als Wellenphänomen widerspricht. A. Einstein erkannte in den experimentellen Beobachtungen den Teilchencharakter: Licht der Frequenz ω besteht aus Energiequanten, Photonen, mit der Energie ~ω. Diskutieren Sie die kinetische Energie der herausgeschlagenen Elektronen als Funktion von ω unter der Berücksichtigung, dass eine Austrittsarbeit EA = ~ωs notwendig ist, um Elektronen aus dem Material zu lösen. 2