WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 7. Vorlesung Matrizen, Eigenschwingungen zeitunabhängige Schrödingergleichung Gekoppelte Pendel Wie löst man die Newtonschen Bewegungsgleichungen ? Auslenkung aus Ruhelage ui Gekoppelte Pendel Gesamtheit der Bewegungsgleichungen kann in Matrixform dargestellt werden Wir können das in kompakter Form schreiben Matrizen Eine allgemeine Matrix dreht … … und skaliert einen Vektor Wird ein Vektor nur skaliert aber nicht gedreht, so nennt man ihn einen Eigenvektor und den Skalierungsfaktor den zugehörigen Eigenwert Gekoppelte Pendel Bewegungsgleichung für Pendel Was passiert für Eigenvektor ? (wir nehmen an, dass EW positiv ist) Ein Eigenvektor schwingt periodisch mit einer konstanten Frequenz Eigenvektoren und Eigenwerte Wie bestimmt man Eigenvektoren und Eigenwerte ? Raten Man fragt die Mathematikerin / den Mathematiker seines Vertrauens Ausrechnen (siehe Mathematische Methoden) Numerisch % dimension of matrix n = 8; % tridiagonal matrix M = full( gallery( 'tridiag', n, 1, -2, 1 ) ); % compute eigenvectors and values [ u, lambda ] = eig( M ); Eigenvektoren und Eigenwerte Einige Eigenvektoren („Eigenmoden“) k=1 k=2 k=3 Schwingungsmuster einer „Wellenmaschine“ k=3 k=4 k=4 Eigenvektoren und Eigenwerte Einige Eigenschaften für eine relle, symmetrische Matrix Alle Eigenwerte sind reell Alle Eigenvektoren sind normiert Die Eigenvektoren bilden eine vollständige Basis, das heißt, dass jeder beliebige Vektor als Linearkombination der Eigenvektoren dargestellt werden kann Schwingung elastischer Körper Das Prinzip der Eigenschwingungen lässt sich auch auf kontinuierliche Körper übertragen (Grenzwert vieler Punkte, die über Federkräfte miteinander wechselwirken) Eigenschwingungen von Instrumenten Bei Eigenschwingungen ändert sich die Amplitude zeitlich periodisch, bei den Schwingungsknoten gilt immer u( r, t ) = 0 Chladnische Klangfiguren Eigenmoden einer schwingenden Platte Schwingende Saite : Grundmode Grundmode einer schwingenden Saite, die bei x = 0 und x = L eingespannt ist, die Eigenschwingung ist bis auf die Amplitude bestimmt Schwingende Saite : Eigenmoden Zusätzlich zur Grundmode gibt es noch Anregungsmoden, die mit einer anderen Frequenz schwingen können Schwingende Saite : beliebige Anregung Jede beliebige Anregung kann durch die Eigenmoden dargestellt werden, das zeitliche Verhalten ist allerdings komplizierter Eigenschwingungen der Wellenfunktion ? „Eigenschwingungen“ der Schrödingergleichung Was schwingt da ? … Nicht viel ;-) – Wellenfunktion ist nur Hilfsgröße „Eigenschwingungen“ der Schrödingergleichung Hamiltonoperator Eigenwertgleichung Schrödingergleichung Zeitliche Entwicklung eines Eigenzustandes Zeitunabhängige Schrödingergleichung Die zeitunabhängige Schrödingergleichung erlaubt es, die Eigenzustände der Schrödingergleichung zu bestimmen zeitabhängige Schrödingergleichung zeitunabhängige Schrödingergleichung Erwin Schrödinger, 1926 Wie bestimmt man die Eigenzustände ? Raten Lösen der Differentialgleichung mit Randbedingungen Numerisch Freies Teilchen Ebene Wellen besitzen eine wohldefinierten Impuls (de Broglie-Wellenlänge) und sind Eigenzustände des freien Hamiltonoperators !!! i.W. haben wir das bereits bei der Propagation von freien Teilchen in Vorlesung 4 benutzt Teilchen in der Schachtel Teilchen in der Schachtel (particle in a box) kann sich innerhalb des Bereiches 0 < x < L frei bewegen innerhalb der Schachtel … Randbedingung … Wie sehen die Eigenzustände und Eigenfunktionen aus ? Teilchen in der Schachtel : Eigenzustände Vergleiche mit Abschätzung aus Heisenbergscher Unschärferelation
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