¨Ubungen zu M1, Sommersem. 2008, 3. Blatt 19. Wie lautet die

Übungen zu M1, Sommersem. 2008, 3. Blatt
19. Wie lautet die Spektraldarstellung der linearen Abbildung R des vorigen
Beispiels? f : → sei eine beliebige, für die Eigenwerte von R definierte
Funktion. Geben Sie f (R) mit Hilfe der Spektraldarstellung von R an.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis für R2 und R−1 .
20. Fassen Sie die Spiegelungsmatrix S von Beispiel 8 als Element aus L(U 3 )
auf. Geben Sie die Eigenräume Mα und die dazugehörigen Projektoren
PMα an. Überprüfen Sie
†
PM
= PMα ,
α
PMα PMβ = δαβ PMα
und die Vollständigkeitsrelation. Wie lautet die Spektraldarstellung von
S? Geben Sie f (S) für eine beliebige, für die Eigenwerte von S definierte
Funktion an. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis für S 2 und S −1 .
21. Aufgabenstellung wie im vorigen Beispiel, jedoch für die Matrix
⎛
⎞
0 −i 0
A = ⎝ i 0 0⎠ .
0 0 1
cos(2πA) =?, sin(2πA) =?
22. H sei der von den 2N + 1 Funktionen
1
2πinx
,
φn (x) = √ exp
L
L
−N ≤ n ≤ N,
L > 0,
x∈
aufgespannte komplexe Vektorraum. Seine Elemente,
ψ=
n=N
cn φ n ,
cn ∈
,
n=−N
sind periodische Funktionen mit Periode L, d.h. ψ(x + L) = ψ(x). H kann
durch die Einführung des Skalarprodukts
L
ϕ|ψ =
dx ϕ(x)∗ ψ(x)
0
zu einem unitären Vektorraum gemacht werden. Überprüfen Sie die
Eigenschaften des Skalarprodukts und zeigen Sie, dass die Elemente
{φ−N , . . . , φN } eine Orthonormalbasis von H bilden.
23. Der Impulsoperator“P ∈ L(H) sei durch die Vorschrift
”
dψ(x)
(P ψ)(x) = −ih̄
, ψ∈H
dx
definiert. Zeigen Sie, dass der Operator P hermitesch ist, bestimmen Sie
seine Eigenvektoren und Eigenwerte. Wie lautet die Spektraldarstellung
von P ?
24. Der Translationsoperator Ta ∈ L(H) sei durch
(Ta ψ)(x) = ψ(x − a),
ψ ∈ H,
a∈
definiert. Zeigen Sie, dass Ta Tb = Ta+b erfüllt ist und Ta unitär ist. Bestimmen Sie Eigenvektoren und Eigenwerte von Ta . Wie lautet die Spektraldarstellung von Ta ? Zeigen Sie mit Hilfe der Spektraldarstellung, dass
Ta = exp(−iaP/h̄) gilt.
25. A : U → U sei ein ein normaler Operator auf einem zweidimensionalen
unitären Vektorraum U mit Eigenwerten a1 = a2 . f :
→
sei eine
beliebige für a1,2 definierte Funktion. Zeigen Sie, dass der lineare Operator
f (A) dann mit Hilfe der Formel
f (A) =
f (a1 ) − f (a2 )
a1 f (a2 ) − a2 f (a1 )
A+
a1 − a2
a1 − a2
als Linearkombination des Operators A und des Einheitsoperators geschrieben werden kann. Es ist also in diesem Fall nicht notwendig die Eigenvektoren (bzw. die dazugehörigen Projektionsoperatoren P1,2 ) explizit
zu berechnen. Was ergibt sich im Fall a1 = a2 ?
Hinweis: Drücken Sie die Projektoren P1,2 auf die Eigenvektoren von A mit
Hilfe der Vollständigkeitsrelation P1 + P2 = und der Spektraldarstellung
A = a1 P1 + a2 P2 durch A und aus und setzen Sie diese Ausdrücke sodann
in f (A) = f (a1 )P1 + f (a2 )P2 ein.
26. Berechnen Sie exp(−iασ1 /2), α ∈
, durch
a) Verwendung der Spektraldarstellung,
b) Entwicklung in eine Potenzreihe,
c) mit Hilfe der Formel des vorigen Beispiels.
27. Überprüfen Sie die Gruppeneigenschaften der SU(2).
28. Zeigen Sie
exp(−iαn · σ /2) =
2 cos(α/2) − in · σ sin(α/2),
durch Verwendung der Formel von Aufgabe 25.
n ∈
3 ,
|n| = 1,

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