158 © R. Plato Teil VI Gewöhnliche Differenzialgleichungen Hierbei bezeichnet eEk den k -ten Einheitsvektor in Rn . Ein Vergleich der Spaltenvektoren der Matrizen auf beiden Seiten der resultierenden Matrixgleichung liefert die Aussage des Lemmas. Eine Matrix ist also genau dann diagonalisierbar, wenn Cn eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix A besitzt. In der Darstellung aus Definition 66.14 enthält die Matrix D gerade die Eigenwerte von A, und die Matrix U enthält (in der passenden Reihenfolge) dazugehörige Eigenvektoren von A. Eine Umformulierung von Satz 43.13 auf Seite 101. ergibt daraus unmittelbar Folgendes: Satz 66.16. Eine nn-Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, falls für jeden Eigenwert 2 C der Matrix A die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist, d. h. es ist dim Eig.A; / D .A; /. Beispiel 66.17. a) Die Matrix AD 1 2 0 1 3 2 1 2A: 2 4 2 2 uE 1 D @ 0 A ; 1 0 1 1 uE 2 D @ 1 A ; i 0 1 1 uE3 D @ 1 A ; i wie man leicht nachrechnet. Diese Matrix A ist also diagonalisierbar. b) Die Matrix AD 2 1 0 2 k D 1; 2; : : : ; n: (66.13) Beweis. Zunächst stellen wir fest, dass das genannte System linear unabhängiger Eigenvektoren nach Lemma 66.15 auf Seite 156 sicher existiert. Die in (66.13) angegebenen Funktionen stellen nach Satz 66.12 auf Seite 155 Lösungen von yE0 D AyE dar. Wegen der angenommenen linearen Unabhängkeit der betrachteten Eigenvektoren gilt für die zugehörige WronskiDeterminante Folgendes: .. ... . .. .. ... . .. .. . ... .. . ... 1 0 .. ... . .. .. ... . .. .. . ... .. . ... 1 B C B C C B C W .0/ D det B @ yE1 ... 0/ yEn ... 0/ A D det @ uE..1 uE..n A C besitzt die Eigenwerte 1 D 1; 2 D 1 C i und 3 D 1 i, und dazugehörige Eigenvektoren sind z. B. 0 1 yEk .x/ D e k x uE k ; 0 1 B @ 1 Satz 66.18. Sei A 2 Rnn eine diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten 1 ; 2 ; : : : ; n 2 C (wobei diese entsprechend ihrer Vielfachheit aufgelistet sind) sowie dazugehörigen linear unabhängigen Eigenvektoren uE 1 ; uE 2 ; : : : ; uE n 2 Cn . Dann besitzt das Differenzialgleichungssystem yE0 D AyE das (i. Allg. komplexwertige) Fundamentalsystem ¤ 0: Satz 66.8 auf Seite 156 liefert nun die Aussage des vorliegenden Satzes. Eine Illustration zu Satz 66.18 finden Sie in Beispiel 66.13 auf Seite 156. 66.3.4 Einige Zusammenhänge für komplexe und reelle Lösungen Real- und Imaginärteil komplexer Lösungen. Im Falle komplexer Eigenwerte liefert Satz 66.18 komplexwertige Lösungen. Wir beschreiben nun, wie man daraus ein Fundamentalsystem reellwertiger Lösungen erhält. ist nicht diagonalisierbar: es ist D 2 einziger Eigenwert dieser Matrix A, mit Eig.A; 2/ D span f eE1 g. Es besitzt also der Vektorraum C2 keine Basis aus Eigenvektoren der Matrix A. M Lemma 66.19. Für jede komplexe Lösung yE W R ! Cn des Differenzialgleichungssystems yE0 D AyE mit einer Matrix A 2 Rnn sind die beiden Funktionen Re yE W R ! Rn und Im yE W R ! Rn reelle Lösungen von yE0 D AyE. 66.3.3 Bestimmung eines Fundamentalsystems für Beweis. Die Aussage folgt ganz einfach aus den folgenden Identitäten: yE0 D AyE .Re y/ E 0 D Re yE0 D Re AyE D A Re y; E nn Für eine diagonalisierbare Matrix A 2 R lässt sich aus den Eigenwerten und -vektoren der Matrix A leicht ein (i. Allg. komplexwertiges) Fundamentalsystem des Differenzialgleichungssystems yE0 D AyE angeben: .Im y/ E 0 D Im yE0 D Im AyE D A Im y: E Dabei geht ein, dass die Einträge der Matrix A alle reell sind.