Analysis 2 (SS 2016) — Vortragsübung 6

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Datum: 13.05.2016
Analysis 2 (SS 2016) — Vortragsübung 6
6.1. Gegeben sei die Funktion
x+1
,
x ∈ R.
x2 + 2
Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von f um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Was ist der
Konvergenzradius dieser Reihe?
f (x) =
6.2. Die Parametriesierung einer Ellipse mit den Halbachsen der Längen 1 und b ≤ 1 besitzt die
Darstellung
·
cos(t)
x (t) =
.
b sin(t)
√
Dabei bezeichnet man ε := 1 − b2 als die Exzentrizität der Ellipse. Der Umfang der Ellipse
berechnet sich durch
Z
2π
·
k x (t)k dt.
L(ε) =
0
Entwickeln Sie L in eine Potenzreihe in ε zum Entwicklungspunkt ε0 = 0.
6.3. Bestimmen Sie die Fourierreihenentwicklungen der periodischen Fortsetzungen der folgenden
Funktionen:
−1 für − π ≤ x < 0
,
a)
f1 (x) =
1 für
0≤x<π
b)
f2 (x) = x,
c)
f3 (x) = |x|,
x ∈ [−π, π),
x ∈ [−π, π),
Geben Sie zusätzlich an, gegen welche Werte die Fourierreihen punktweise konvergieren.
6.4. [Zusatz]
i) Für welche Funktionen f : [0, π] → C gibt es Koeffizienten cn ∈ C, sodass gilt
∀x ∈ (0, π) :
f (x) =
∞
X
k=0
i) Für welche Funktionen gilt dies auch am Rand?
cn sin(nx).

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