Zum Additionsverfahren und Gauß-Algorithmus

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. Hermann Vogel
DGS-Praktikum
Gauss
Zum Additionsverfahren und Gauß-Algorithmus
Im File Gauss.ggb sind die Koeffizienten zweier Geradengleichungen g1 und g2 über Schieberegler festgelegt. Zudem ist ein Schieberegler für den Parameter  vorbereitet. Gesucht
ist eine analytische Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts S = (x0, y0) = g1  g2 ,
wenn g1 und g2 nicht parallel liegen.
Gibt man die Geradengleichung g_3: (a_1+ b_1) x + (b_1+ b_2) y = c_1 +  c_2 ein, so
erkennt man bei Variation von , dass die Gerade g3 in einem Geradenbüschel durch den
gesuchten Schnitt-punkt S liegt. Für   IR erhält man alle Geraden dieses Büschels bis auf
die Gerade g2.
Wählt man nun  so, dass in der Gleichung für g3 der Koeffizient von x verschwindet, so
liegt g3 parallel zur x-Achse und liefert somit die y-Komponente von S. Wählt man entsprechend  so, dass der Koeffizient von y verschwindet, so liegt g3 parallel zur y-Achse und
liefert somit die x-Komponente von S. Dies veranschaulicht das Additionsverfahren, das für
größere Lineare Gleichungssysteme zum Gauß-Algorithmus weiterentwickelt wird.
Im File Gauss-CAS.ggb werden die Geraden nach der Definition der Schieberegler im
Zeichenfenster direkt im CAS-Fenster (siehe Ansicht -> CAS) definiert g_i: a_i x+b_i y = c_i.
Da sie damit eindeutig festgelegt sind, können sie im Zeichenfenster ausgegeben werden.
Der CAS-Befehl Löse[ <Liste von Gleichungen>, <Liste von Variablen> ] erstellt eine
Liste (aller) Lösungen, hier die eindeutige Lösung der Koordinaten von S in Zeile 4, die man
mit S_0:=Ersetze[(x, y),$4] dem Punkt S_0 zuordnen kann. Mit $4 wird dabei auf das
Ergebnis der Zeile 4 zugegriffen, siehe untenstehenden CAS-Ansicht.
Im CAS-Fenster erhält man die Gerade g3 direkt als Linearkombination g_3: g_1 + _0 g_2
der Geradengleichungen. Variiert man den Parameter 0 im Zeichenfenster, so ändern sich
die Werte im CAS-Fenster, d.h. GeoGebra verknüpft CAS und DGS .
Für die gesuchte analytische Lösung definiert man g: g_1 +  g_2 (da  unbestimmt ist,
wird g nicht im Zeichenfenster dargestellt). Leider kann man diese Gleichung (noch) nicht
geordnet nach Potenzen von x und y ausgeben, erhält aber mit
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Koeffizienten[LinkeSeite[$9],{x,y}] eine Liste der Koeffizienten von x und von y, siehe
CAS-Ansicht.
Mit Löse[Element[$10,1]=0] bestimmt man  so, dass der Koeffizient vor x verschwindet.
Setzt man dies mit dem Befehl Ersetze[$9,$11] in die Gleichung von g ein, so erhält man
eine Gleichung für die y-Koordinate von S, siehe Zeile 12/13 des CAS-Ansicht.
Setzt man die y-Koordinate von S mit dem Befehl Ersetze[g_1,$13] in die Gleichung von
g1 ein, erhält man eine Gleichung für die x-Koordinate von S, siehe Zeile 14/15, und schließlich mit S:=Ersetze[(x, y),{$15, $13}] den gesuchten Schnittpunkt auch im Zeichenfenster.
CAS-Ansicht
Die CAS-Ansicht lässt sich wie das Konstruktionsprotokoll durch Anklicken des Rechtecks
rechts in der Kopfzeile aus dem Programmrahmen lösen.
Wähle nun in Zeile 11 mit Löse[Element[$10,2]=0] den Koeffizienten von y, und vergleiche
die sich ergebende Lösung mit der oben abgedruckten.


Was ergibt sich, wenn man den Radiobutton in Zeile 4 oder in Zeile 12 anklickt?
Was ergibt sich, wenn man g1 und g2 parallel wählt?
g3 liegt dann im Parallelenbüschel der parallelen Geraden (durch den gemeinsamen
Fernpunkt S).
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Bild-Einbinden
Bild-Einbinden
Wähle in einem neuen GeoGebra-Fenster in der Menüleiste das Werkzeug Bild
, klicke
im Zeichenfenster eine Stelle (oder einen Punkt) für die linke untere Ecke des Bildes an und
wähle z.B. aus dem Ordner Bild-Einbinden das File Bild.png (oder ein anderes Bild im jpg-,
jpeg-, gif-, bmp-, oder svg Format).
Das Bild ist dann über zwei Punkte (die linke und rechte untere Ecke) im Zeichenfenster
beliebig zu skalieren und zu positionieren, vgl. Bild-1.ggb.
Da es zunächst als Hilfsobjekt geladen wird, erscheint es zunächst nicht in der AlgebraAnsicht, siehe Eigenschaften -> Grundeinstellungen. Dort kann man es auch als Hintergrundbild setzen. Dann ist es (wie gewünscht) nicht mehr durch Mausklick auswählbar.
Im File Bild-2.ggb sind die Ecken des Bildes auf die Eckpunkte Ei = Eckpunkt[i] , i = 1, 2, 4
des Zeichenfensters positioniert mit dem Nachteil, dass das Bild bei Änderung des Zeichenblatts verzerrt wird (der Kreis bleibt ein Kreis). Zudem kann es als Hilfsobjekt und Hintergrundbild nur noch über Bearbeiten -> Eigenschaften ausgewählt und bearbeitet werden.
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Eigenvektoren
Ausblick auf die Lineare Algebra
→
mit einer 2x2-Matrix als Selbstabbil→
auf sich, so kann man nach Vektoren
fragen, deren Bild ein
ist. Da das Bild des Nullvektors stets der Nullvektor ist, sucht
deren Bild
 ,  ∈ ist.
Betrachtet man die lineare Abbildung :
dung des Vektorraums
Vielfaches des Vektors
man speziell Vektoren
Öffne das File Eigenvektoren.ggb und klicke dich mittels der Navigationsleiste durch die
ersten Schritte bis zum Schritt 9. Versuche dann durch Verschieben von Eigenvektoren zu
finden. Was kannst Du dabei feststellen?
Gehe in der Navigation weiter. In der Grafik-Ansicht 2 erscheint ein Polynom  , dessen
Nullstellen notwendige Bedingungen für die Existenz von nichttrivialen Lösungen des LGS:
 , 
 , 

, det

0
mit der Einheitsmatrix liefern, wobei

:  ein Polynom 2.Grades in  ist.
Beachte: Für

0 ist

invertierbar und
Die reellen Nullstellen  , bezeichnet man als Eigenwerte von
des LGS
,
,
als Eigenvektoren von
,
einzige Lösung des LGS.
und die Lösungen
Da in diesem LGS die beiden Gleichungen linear abhängig sind, erhält man jeweils eine
Lösung ,
aus einer der beiden Gleichungen einfach als:
e_i=Vektor[Wenn[x(v_2) ≟ 0 ∧ x(v_1) - λ_i ≟ 0, (y(v_2) - λ_i, -y(v_1)), (-x(v_2), x(v_1) - λ_i)]]
i=1 oder 2, wobei berücksichtigt wird, dass die erste Gleichung eine „Nullzeile“ sein könnte.
, spannen dabei jeweils einen eindimensionalen Lösungsraum auf.
Beachte: Nicht alle 2x2-Matrizen besitzen zwei verschiedene reelle Eigenwerte und zugehörige reelle Eigenvektoren. Diese Fälle müssen eigens untersucht werden -> Lineare Algebra.
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