京都大 92 年立体の体積比 a= 1+U 5 とし、空間内の原点Oと４つの点A 0 1 , 1 , 1 1 ， 2 B 0 -a -1 , a , 01 ，C 0 -a , 0 , a -11 ，D 0 0 , -a -1 , a1 について次の問いに答よ。（１）４点A , B , C , D は正方形の頂点であることを示せ。（２）四角すいO - ABCD を平面x =0 によって 2つの部分W 1，W 2に分けたとき， W 1，W 2の体積の比を求めよ。 ************************************************************************************** 四角すい O-ABCD は正四角すいであることが見てとれます。（１）は AB=BC=CD=DA と各々の角が 90°というだけで終わってしまう諸君が出てくるかもしれません。これだけだと折れ曲がったひし形の可能性も残ります。（２）は底面 ABCD が x=0 によって分割されたときの面積比がそのまま体積の比になります。（１）AB = AD 、AB5ADおよびAB = DC であることを証明する。 AB = 0 -a -1 -1, a -1, -11 、AD = 0 -1,-a -1 -1, a -11 ここで-a -1 -1=- 2 1-U 5 1+U 5 -1 ＝-1 ＝＝-aから 2 2 1+U 5 AB = 0 -a , a -1, -1 1 、　AD = 0 -1,-a , a -1 1 2 AB ＝0 -a 1 2 + 0 a - 1 1 2 + 0 -1 1 2 ＝ AD 2 ゆえに AB = AD …① またAB ･ AD ＝0 -a 10 -1 1 + 0 a -1 10 -a 1 + 0 -1 10 a -1 1 ＝a - a 2 + a - a +1 ＝-0 a 2 - a - 11 ここでa = 1+U 5 から2a -1= U 5 両辺を二乗して 2 4a 2 -4a +1=5 ゆえにa 2 - a -1=0 よってAB ･ AD ＝０でありAB5AD…② さらにDC＝0 -a , a -1 ,-a + a -11 ＝0 -a , a -1, -1 1 ゆえにAB = DC …③ ①，②，③より4点A , B , C , D は正方形の頂点となる。（２）線分AB上の点で平面x =0 と交わる点をPとする。 AP：PB＝t：1- t とすると OP＝0 1 - t 1OA + tOB ＝0 1- t - ta -1 ,1- t + at ,1 - t1 x =0 であるから1- t - ta -1 =0 よってt = ゆえにAP：PB＝ 1 1 ＝ -1 a 1+a 1 1 ：1- ＝1：a -1 a a またAP：PB：DC＝1：a -1 ：a よって□BCDP：△ADP＝a + a -1 ：1＝2a -1 ：1＝U 5 ：1（答）