年 番号 1 1 辺の長さが 1 である正四面体 ABCD がある．面 ABC と面 DBC のなす角を µ とするとき，次 4 の問いに答えなさい． 氏名 四角形 ABCD において AB = CD = 1; BC = DA = 3 であり，対角線 AC，BD の長さをそ れぞれ x; y とする．以下の問に答えよ． (1) cos µ を求めなさい． (1) 四角形 ABCD の面積 S を x を用いて表せ．また，S の最大値 S0 を求めよ． 1 (2) 面積が S である四角形 ABCD に対して x2 ; y2 の値を求めよ．ただし，x 5 y とし，S0 は 3 0 (1) で求めたものとする． (2) 正四面体 ABCD の体積 V を求めなさい． (3) 正四面体 ABCD に内接する球の半径 r を求めなさい． （ 島根県立大学 2015 ） (3) cos ÎACB を x で表せ．また，ÎACB が最大となる x の値を求めよ． （ 岐阜大学 2012 ） 2 四角形 ABCD は円 O に内接していて，AB = 3，BC = 7，CD = 7，DA = 5 とする． 5 (1) ÎA の大きさを求めよ． 図 1 のように，AB = AC = 5，BC = 6 の二等辺三角形 ABC 内に，半径が等しい 2 つの円 O1 ， O2 が次の 2 つの条件を満たすように置かれているとする． (2) 四角形 ABCD の面積を求めよ． (3) 円 O の半径を求めよ． ² 円 O1 と円 O2 は外接する． (4) 三角形 ABD の内接円の半径を求めよ． ² 円 O1 は辺 AB と辺 BC に接し，円 O2 は辺 AC と辺 BC に接する． (5) 対角線 AC，BD の交点を E とするとき，sin ÎAEB の値を求めよ． このとき，次の問に答えよ． （ 昭和大学 2014 ） 3 4ABC において頂点 A，B，C に向かい合う辺 BC，CA，AB の長さをそれぞれ a; b; c で表 し，ÎA，ÎB，ÎC の大きさを，それぞれ A; B; C で表すものとする．4ABC の面積を S と a+b+c し，s = とおくと 2 S= C s(s ¡ a)(s ¡ b)(s ¡ c) が成立することを余弦定理と公式 S= (1) 辺 BC の中点を M としたとき，線分 AM の長さを求めよ． (2) 円 O1 の半径 R を求めよ． 1 bc sin A 2 (3) さらに円 O3 が図 2 のように円 O1 と円 O2 に外接し，辺 AB と辺 AC に接しているとき，円 O3 の半径 r を求めよ． を用いて証明せよ． （ 京都教育大学 2013 ） （ 香川大学 2015 ） 6 円に内接する四角形 ABCD において，AB = 2，BC = 3，CD = 4，DA = 5 とする．このと き，次の問いに答えよ． (1) cos ÎBAD の値を求めよ． (2) 四角形 ABCD の面積を求めよ． （ 安田女子大学 2013 ） 7 4ABC の ÎA の二等分線と 4ABC の外接円との交点を D とし，辺 BC と辺 AD の交点を E と するとき，次の問いに答えよ．ただし，AB = 5，AC = 4，ÎBDC = 120± とする． (1) 辺 BD，BC のそれぞれの長さを求めよ． (2) 4ABC の内接円の半径を求めよ． (3) 4ABC の外接円の半径を求めよ． （ 倉敷芸術科学大学 2013 ） 8 四面体 ABCD において，AB = 2，AC = BC = 3，AD = BD = 4，CD = 5 であるとする． M を辺 AB の中点とし，ÎCMD = µ とおく． (1) cos µ の値を求めよ． (2) 四面体 ABCD の体積を求めよ． （ 日本女子大学 2014 ） 9 底面が半径 1 の円である円錐 S と，S と相似であるが半径が不明な円錐 L がある． (1) S と L の表面積の比が 1 : 12 のとき L の底面の半径を求めると チ である． (2) (1) の条件のもとで，L の高さが 6 のとき，L に側面と底面で内接する球の半径を求めると ツ であり，その球の体積を求めると テ となる． （ 神戸薬科大学 2014 ） p p p 10 四角形 ABCD において，AB = 2 2，BC = 6 + 2，CD = 2，ÎB = 60± ，ÎC = 75± のと き，この四角形の面積を求めよ． （ 鳥取大学 2015 ） 11 一辺の長さが a の正四面体 ABCD の体積を a で表せ． （ 奈良教育大学 2015 ）
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