475_放物線と x 軸に内接する長方形の周の長さと面積の最大値問題 練習問題 解答
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放物線と x 軸に内接する長方形の周の長さと面積の最大値問題
練習問題
解答
１．右の図のように条件を満たす長方形を ABCD とし，点 A の座標を
(t , 0) (0 < t < 4)
y
とおく．放物線と長方形はともに放物線の軸 x = 4 に関して対称
であることから
AB＝ 2(4 − t ) = −2t + 8
AD＝ 8t − t
したがって
y =8x - x 2
16
D
2
C
l = 2 {(−2t + 8) + (8t − t 2 )}
= −2t 2 + 12t + 16
= −2(t − 3) 2 + 34
O
4
A
B 8
x
よって， 0 < t < 4 より， t = 3 のとき，l の最大値は 34 である．
２． y = − x + 4 x + 8 = −( x − 2) + 12 "" ①
2
2
①のグラフと軸との交点の x 座標は
− x2 + 4x + 8 = 0 ⇔
x = 2±2 3
右の図のように条件を満たす長方形を ABCD とし，点 A の座標を
(t , 0) (2 − 2 3 < t < 2)
y
とおくと，図形の対称性から
AB＝ 2(2 − t ) = −2t + 4
12
AD＝ −t + 4t + 8
したがって，長方形 ABCD の面積 S (t ) は
8
D
2
C
S0 t 1
S (t ) = (−2t + 4)(−t 2 + 4t + 8)
= 2t 3 − 12t 2 + 32
これから
OA
S ′(t ) = 6t 2 − 24t = 6t (t − 4)
2-2U 3
2 − 2 3 < t < 2 より，増減表は次のようになる．
t
2−2 3
0
2
S ′(t )
＋
0
−
S (t )
9
極大
:
よって，増減表より，求める長方形の面積は t = 0 のとき最大値 32 をとる．
2
B
2+2U 3
x
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![[問題 A の広がりⅡ]](http://s3.expydoc.com/store/data/007450425_1-053a80744e380ce1533b6da8f82db439-250x500.png)
