4STEP 数学Ⅱ（新課程）を解いてみた
微分法と積分法 7
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不定積分
464
f (x ) = px 2 + qx + r とすると， F (x ) =
F (x ) = xf (x ) - 2 x 3 + 3x 2 より，
p 3 q 2
x + x + rx + C （ C は積分定数）
3
2
p 3 q 2
x + x + rx + C = ( p - 2)x 3 + (q + 3)x 2 + rx
3
2
これは x についての恒等式だから，係数比較により p, q, C の値を求めると，
p
q
= p - 2 より p = 3 ， = q + 3 より q = -6 ， C = 0
3
2
また， f (1) = 0 より， p + q + r = 0
よって， r = - p - q = 3
ゆえに， f (x ) = 3x 2 - 6 x + 3
465
曲線 y = f (x ) と直線 y = -3x + 1 の接点の座標を (t , - 3t + 1) とすると，
f ¢(t ) = -3 より， t 2 + 2t - 2 = -3
\ (t + 1)2 = 0
ゆえに， t = -1
したがって，接点の座標は (- 1, 4 )
一方， f (x ) =
ò f ¢(x)dx = ò (x
2
)
+ 2 x - 2 dx =
1 3
x + x 2 - 2 x + C （ C は積分定数）
3
これと y = f (x ) が (- 1, 4 ) を通ることから， f (- 1) = 4 より， ゆえに， f (x ) =
4
1 3
x + x 2 - 2x +
3
3
1
1
+1+ 2 + C = 4
3
\C =
4
3

2014 スタンダード数学演習Ⅰ・Ⅱ・A・B 受験編 問題47 20140525

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