Markus Herrich Übung Freitag, 1.DS Institut für Numerische Mathematik SS 2015 1. Hausaufgabe (Lineare PDGLn erster und zweiter Ordnung) Die erste der folgenden Aufgaben ist der Klausur „Mathematik II für Maschinenwesen“ aus dem Jahr 2010 (von Prof. Fischer) entnommen. Die zweite Aufgabe stammt aus der Klausur „Mathematik II für Maschinenwesen“ aus dem Jahr 2012 (von Prof. Eppler). Wer möchte, kann diese Aufgaben bearbeiten und in der Übung am 15. Mai 2015 bei mir abgeben (einfach vorn auf den Schreibtisch legen). Ich werde sie dann korrigieren und in einer der nächsten Übungen wieder austeilen. Gern können Sie auch in Gruppen arbeiten und gemeinsam eine Arbeit abgeben. Die Hausaufgabe soll als Kontrolle für Sie dienen, damit Sie sehen, inwiefern Sie den Stoff zu Linearen PDGLn erster und zweiter Ordnung verstanden haben und wo eventuell noch Nachholebedarf besteht. 1. (a) Untersuchen Sie, ob die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung uxx − 2 ex uxy − 3 e2x uyy − ux = 0 elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch ist. (b) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung uxy = 1. (c) Gegeben sei die partielle Differentialgleichung ux + x uy = 1. Bestimmen Sie die zugehörige Charakteristik in der Form c = f (x, y). (d) Geben Sie die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung ux + x uy = 0 an. 2. (a) Gegeben ist die partielle Differentialgleichung xy ux + uy = 1 (x > 0). (a1) Ermitteln Sie die zugehörigen charakteristischen Kurven in der Form c = h(x, y). (a2) Als allgemeine Lösung der PDGL erhält man u(x, y) = y + f ( 12 y 2 − ln(x)) mit einer beliebigen differenzierbaren Funktion f : R → R. Welche Lösung erhält man unter der Anfangsbedingung u(1, y) = 21 (y + 1)2 für alle y? 1 (b) Bestimmen Sie mittels der Transformation ξ := y(x + 1), η := x die allgemeine Lösung der PDGL 1 1 ux − uy = 2x(x + 1). y x+1 (c) Untersuchen Sie, ob die lineare PDGL 2. Ordnung sin2 (x) uxx − 2y sin(x) uxy + y 2 uyy + ux − uy = 0 elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch ist. 2