Klaus Altmann Mathematisches Institut Freie Universität Berlin Tel.: (030) 838 - 75428 [email protected] Anna-Lena Winz Mathematisches Institut Freie Universität Berlin Tel.: (030) 838 - 75429 [email protected] “Lineare Algebra II” FUB, Sommer 2016 Tutoren: Koki Yoshimoto, Jakub Rondomanski 1. Aufgabenblatt Aufgabe 1. Sei ϕ : V → V ein Endomorphismus und V ein zweidimensionaler Vektorraum. Man zeige, daß der Endomorphismus ψ := ϕ2 − (tr ϕ) · ϕ jeden Vektor mit einer festen (nur von ϕ abhängigen) Zahl multipliziert. Was ist diese Zahl? Aufgabe 2. Ein Endomorphismus eines Vektorraums (oder allgemeiner ein Element eines nicht notwendig kommutativen Ringes) heißt nilpotent, wenn eine gewisse Potenz dieses Endomorphismus’ (oder Elements) verschwindet. a) Seien ϕ, ψ : V → V zwei vertauschbare, nilpotente Endomorphismen. Man zeige, daß dann auch ϕ + ψ nilpotent ist. b) Gilt dieser Satz auch allgemein für nilpotente Elemente eines Ringes statt Endomorphismen eines Vektorraumes? Gilt dieser Satz auch ohne die Voraussetzung der Vertauschbarkeit? (Beweis/Gegenbeispiel) Aufgabe 3. Bestimmen Sie charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Minimalpolyom für die folgenden Matrizen. Sind die Matrizen diagonalisierbar? 6 −38 −14 −6 0 1 17 7 , A2 = 60 0 −10 . A1 = −4 16 −76 −30 −39 1 8 Aufgabe 4. Berechnen Sie A120 für die Matrix 2 4 A= . 1 −2 (Tip: Finden Sie eine Matrix S, so dass SAS −1 Diagonalform hat.) Aufgabenblätter und Nicht-Script: http://www.math.fu-berlin.de/altmann
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![• Der Polynomring K[T], Division mit Rest in Z und K[T], euklidische](http://s3.expydoc.com/store/data/009977524_1-014598850806b534f48429d4d26924af-250x500.png)
