Aufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra I PD Dr. J¨ org Jahnel Blatt 6 1. a) Die Sommersemester 2015 R-lineare Abbildung f : R4 → R2 sei definiert durch f (1, 0, 0, 0) = (8, 7), f (0, 1, 0, 0) = (0, 4), f (0, 0, 1, 0) = (5, 1), f (0, 0, 0, 1) = (1, 1). Bestimmen Sie jeweils eine Basis von bild(f ) und ker(f ). b) g: 3 → 3 sei die lineare Abbildung, die durch R R f (1, 0, 0) = (0, 1, 1, f (0, 1, 0) = (1, −1, 0), f (0, 0, 1) = (−1, 0, −1) definiert wird. Bestimmen Sie Basen von bild(g) und ker(g). 2. Untersuchen Sie, ob es zwei lineare Abbildungen f, g: R3 → R3 gibt mit dim bild(f ) = dim bild(g) = 2 und f ◦g = 0. Geben Sie gegebenenfalls ein derartiges Paar (f, g) linearer Abbildungen an. R R R RR 3. Es bezeichne [X] ⊂ Abb( , ) den Vektorraum aller Polynomfunktionen, das heißt aller Funktionen f : → , f¨ ur die eine ganze Zahl n ≥ 0 und eine Darstellung f = λ0 + λ1 t + . . . + λn tn R R mit reellen Koeffizienten existieren. Weiterhin sei D: [X] → [X] die Abbildung mit dp D: p 7→ dX . a) Zeigen Sie, daß D eine lineare Abbildung ist. b) F¨ ur reelle Zahlen α ∈ R betrachte man die linearen Abbildungen R D + α·id: [X] → dp + αp. R[X], p 7→ dx F¨ ur welche α ist D + α·id injektiv, f¨ ur welche surjektiv und f¨ ur welche bijektiv? R 4. a) Es sei dimR V ein ungeradedimensionaler -Vektorraum. Zeigen Sie, daß es dann keinen Endomorphismus f : V → V geben kann, bei dem dim ker(f ) = dim bild(f ) eintritt. b) Sei nun V = n mit einer geraden Zahl n. Geben Sie einen Endomorphismus f : V → V an, f¨ ur den dim ker(f ) = dim bild(f ) gilt. b’) K¨onnen Sie sogar ker(f ) = bild(f ) erreichen im Falle n = 2? Und f¨ ur allgemeines gerades n? R Abgabetermin: Donnerstag, 21. Mai 2015, vor der Vorlesung