Blatt 12

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra II
Prof. Dr. C.-F. Bödigheimer
Sommersemester 2010
Blatt 12
Keine Abgabe
Aufgabe 67: (Bilinearformen auf Matrizenräumen)
Es seien zwei bilineare Abbildungen α, β : Matn,n (R) × Matn,n (R) → R durch β(A, B) := spur(AB) und
α(A, B) := spur(AT B) definiert. Zeigen Sie:
1. α ist ein Skalarprodukt und geben Sie eine Orthonormalbasis an.
2. β ist eine symmetrische nichtdegenerierte Bilinearform, die aber nicht definit ist.
3. Geben Sie eine Basis von Matn,n (R) an, so dass die darstellende Matrix von β eine Diagonalmatrix
mit Diagonaleinträgen ±1 ist.
1
Aufgabe 68: (Diagonalisierung und unitäre Matrizen)
Es sei V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass
folgende Aussagen äquivalent sind:
1. Es existiert ein Skalarprodukt σ auf V , so dass f unitär bezüglich σ ist.
2. f ist diagonalisierbar und alle Eigenwerte haben den Absolutbetrag 1.
Aufgabe 69: (Spiegelungen erzeugen die orthogonale Gruppe)
Sei V ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt σ. Bekanntlich definiert, für w ∈ V
mit σ(w, w) = 1, die Formel v 7→ v − σ(w, v)w einen orthogonalen Endomorphismus fw von V (fw ist die
Spiegelung an der Hyperebene span(w)⊥ ). Zeigen Sie, dass für jedes φ ∈ Aut(V, σ) Vektoren w1 , . . . , wr
mit σ(wi , wi ) = 1, existieren, so dass φ = fw1 . . . fwr gilt. Tip: Normalformen für orthogonale Matrizen.
Aufgabe 70: (Rechenaufgabe)
Bestimmen Sie alle Skalarprodukte auf R2 , bezüglich derer die folgende Matrix A orthogonal ist:
A=
0
1
−1
.
1
Aufgabe 71: (Wirkung der orthogonalen Gruppe auf Sphären)
Die n − 1-dimensionale Sphäre ist die Teilmenge Sn−1 = {x ∈ Rn |hx, xi = 1} ⊂ Rn . Mittels der linearen
Abbildung Rn → Rn+1 , (x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xn , 0) können wir Rn als Unterraum von Rn+1 betrachten.
Machen Sie sich klar, dass dann gilt Sn ∩ Rn = Sn−1 .
Es sei O(n) die spezielle orthogonale Gruppe. Zeigen Sie, dass gilt: A ∈ O(n), x ∈ Sn−1 ⇒ Ax ∈ Sn−1 .
Somit operiert O(n) auf der Sphäre Sn−1 . Zeigen Sie ferner:
1. O(n) operiert transitiv auf Sn−1 .
2. Die Standgruppe von en (also dem n-ten Einheitsvektor) ist O(n − 1).
3. Die Untergruppe SO(n) operiert ebenfalls transitiv mit Standgruppe SO(n − 1).
*-Aufgabe 72: (Auf den Höhen der Abstraktion)
Es sei V ein K-Vektorraum und V ∗ sein Dualraum. Man definiere zwei Homomorphismen Φ = ΦV :
Hom(V, V ∗ ) → Bil(V ) sowie Ψ = ΨV : Bil(V ) → Hom(V, V ∗ ) durch
Φ(f )(v1 , v2 ) := f (v1 )(v2 ); und (Ψ(β)(v1 ))(v2 ) := β(v1 , v2 ).
Man zeige, dass Φ und Ψ zueinander inverse lineare Abbildungen sind. Ferner ist f ∈ Hom(V, V ∗ ) genau
dann ein Isomorphismus, wenn Φ(f ) nichtausgeartet ist.
Jetzt sei W ein weiterer Vektorraum und F : V → W ein Homomorphismus. Wir definieren Abbildungen
ΘF : Bil(W ) → Bil(V ) und ΣF : Hom(W, W ∗ ) → Hom(V, V ∗ ) durch ΘF (β)(v1 , v2 ) := β(f v1 , f v2 ) sowie
ΣF (f ) = F ∗ ◦ f ◦ F . Man zeige, dass gilt
ΘF ◦ ΦW = ΦV ◦ ΣF .
Termine der Ringvorlesungen:
Mittwoch, 14.7.:
• 18.00 - 18.40 h: Einführung in die Diskrete Mathematik / Vygen
• 18.40 - 19.20 h: Gruppen, Ringe, Moduln / Bödigheimer
• 19.20 - 20.00 h: Analysis III / Conti
Donnerstag, 15.7.:
• 18.00 - 18.30 h: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsheorie/ Eberle (in Vertretung für Sturm)
• 18.35 - 19.15 h: Einführung in die Numerik/ Bebendorf
• 19.20 - 20.00 h: Mengenlehre/ Geschke
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