Serie 5

Prof. Johanna F. Ziegel
Tobias Fissler
Anja Mühlemann
Wahrscheinlichkeitstheorie
Frühlingssemester 2015
Serie 5
1.
a) Beweisen Sie Proposition 2.20 der Vorlesung.
Proposition 2.20. Es sei X eine Zufallsvariable und FX ihre Verteilungsfunktion. Dann gilt
1. FX ist monoton wachsend;
2. limt→−∞ FX (t) = 0, limt→∞ FX (t) = 1;
3. F ist rechtsstetig, d.h. lims↓t FX (s) = FX (t).
b) Es sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung PX und Verteilungsfunktion FX .
Zeigen Sie für x ∈ R: FX ist genau dann stetig in x, wenn PX ({x}) = 0.
2.
a) Es sei X standard-normalverteilt und Y := X 2 . Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von Y .
b) Eine Gamma-Verteilung ist eine absolut-stetige Verteilung mit Dichte f : R →
R,
( p
λ
xp−1 e−λx , x > 0,
f (x) := Γ(p)
0,
x ≤ 0,
wobei Parameter p, λ > 0 sind. Hier ist
Z ∞
Γ(p) :=
y p−1 e−y dy,
p > 0.
0
Zeigen Sie, dass Γ(p + 1) = pΓ(p).
Folgern Sie aus daraus, dass
√ Γ(n) = (n − 1)! für alle n ∈ N, und zeigen Sie
mittels a), dass Γ(1/2) = π.
c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Gamma-Verteilung.
3.
a) Es sei X eine Zufallsvariable mit Werten in N. Zeigen Sie, dass
E(X) =
∞
X
P(X ≥ j).
j=1
Bitte wenden!
b) Es sei X eine Zufallsvariable und f eine Borelfunktion. Man zeige: X und f ◦ X
sind genau dann unabhängig, wenn f ◦ X fast sicher konstant ist.
4. Es sei (Xi )i∈I eine Familie von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P). Zeigen Sie folgende Aussage: Die Familie (Xi )i∈I ist genau dann unabhängig, wenn für jede Menge von reellen Zahlen (αi )i∈I ∈ RI die Familie ({Xi ≤ αi })i∈I
von Ereignissen unabhängig ist.
5. (Bonusaufgabe, 6 Punkte) Beweisen Sie folgenden Satz.
Satz. Es sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es sei {Ai | i ∈ I} eine unabhängige Familie von Mengen Ai ⊆ F von Ereignissen. Dann ist die Familie (D(Ai ))i∈I
unabhängig, wobei D(Ai ) das von Ai erzeugte Dynkinsystem bezeichnet.
Hinweis: Machen Sie sich klar, dass eine Familie von Mengen von Ereignissen genau
dann unabhängig ist, wenn jede endliche Teilfamilie unabhängig ist.
Für ein beliebiges i0 ∈ I definieren wir
Bi0 = {B ∈ F | (Ai )i∈I\{i0 } ∪ {B} ist unabhängig}.
Zeigen Sie, dass Bi0 eine Dynkin-System ist und folgern Sie die Behauptung.
Abgabe: Freitag, 27.03.2015 vor Beginn der Vorlesung um 10:15.

Download Report