2 年生数学 α 第 2 章《連立方程式》 No.15 2.2 連立方程式の解き方 2.2.1 大原則 : 1 文字消去する 1 次方程式を解くときには, 等式変形を用いて x = . . . の形にすることを目標にして解を求めた. いわば, x という変数が散らばっているのをひとつにまとめる作業をし, だんだんと簡単な式に変形していったわけである. 連立方程式を解く場合も, 1 次方程式を解く場合と同様に, より簡単な式に変形していくわけだが, 1 次方程式の場合と大きく違う点がある. なによりも, ::::::::::::::::::: 正体不明な数 x と y の:: 2 つがウロウロしていてやっかいである . そこで, 連立方程式を解くときの一番の目標は, 1 :::::::::::::::::::::::::: つの文字だけに注目し, もう一方の文字にはさっさと消えてもらうことである. そのための方法が, これから説明する加減法と代入法である. どちらの方法でも連立方程式は解けるが, 両方できるようになっておこう. 2.2.2 加減法次のような連立方程式を解くことを考えよう. {3x + y = 250 x + y = 150 ⃝ 1 ⃝ 2 ⃝ 1 の左辺から⃝ 2 の左辺を引くと, 2x となる. また, ⃝ 1 の左辺から⃝ 2 の左辺を引くと, 100 となる. したがって, ⃝ 3 2x = 100 となる. これは単純な 1 次方程式なので, これを解くと, x = 50 2 に代入すると, である. この値を⃝ y = 100 となる. よって, この連立方程式の解は, (x, y) = (50, 100) (2.5) である†2 . †2 { x = 50 連立方程式の解の書き方は, 「(x, y) = (50, 100)」の他にも, 「x = 50, y = 100」や「」 y = 100 のような書き方をしてもよい. 担当：岡崎正悟 2 年生数学 α 第 2 章《連立方程式》 No.16 1, ⃝ 2 のように x, y の両方を含む式から, ⃝ 3 のように y を含まない式をこのように, ⃝ 導くことを「y を消去する」という. 今のように, 1 つの文字を消去するために両辺をひくのではなく, 両辺をたすことによって 1 つの文字を消去することもできる. 例 2.3 次の連立方程式を, 左辺どうし, 右辺どうしをたすことによって解いてみよう. { 2x + y = 7 5x − y = 14 以上のように, 連立方程式を解くのに, 左辺どうし, 右辺どうしをそれぞれたすかひくかして, 1 つの文字を消去する方法を加減法という. 練習 2.4 次の連立方程式を加減法を用いて解きなさい. (1) (2) { 6x − y = 22 6x + 5y = −2 (3) { 3x − 2y = 19 5x + 2y = 21 { x+y =6 −x + y = 10 ♣ どちらの文字を消去すれば良いかを考えよう. 次のような連立方程式も加減法で解くことができる. {x + 2y = 4 ⃝ 1 ⃝ 2 2x + 3y = 5 そのまま両辺をたしたりひいたりしても, 1 つの文字を消去することはできない. そこで, ⃝ 1 の両辺を 2 倍すると†3 , 2x + 4y = 8 ⃝ 1’ 1 ’ から ⃝ 2 をひけば, x を消去することができる. 実際に計算すると, となる. これで, ⃝ y=3 1 に代入して, となる. この値を ⃝ x = −2 を得る. よって, この連立方程式の解は (x, y) = (−2, 3) (2.6) である. †3 「そんなことしてええんか!?」と思う人もいるかもしれないが, ちょっと前 (プリント No.11) に学習した「等式の変形」で【両辺に同じ数をかけても等式としては変わらない】ということが出てきたのを思い出そう. 担当：岡崎正悟