lim sinx x = 1

年番号
1
5
三角関数の極限に関する公式
lim
x!0
氏名
図のように，点 O を中心とし，線分 AB を直径とする半径 1 の半円において，円周上に点 P を
とり，ÎPOA = µ とし，点 P における接線が線分 OA の延長と交わる点を H とする．ただし，
¼
0<µ<
とする．さらに，線分 OA 上に ÎOPB = ÎOPD となるように点 D をとる．
2
sin x
=1
x
を示すことにより，sin x の導関数が cos x であることを証明せよ．
（大阪大学 2013 ）
2
2
2
2
曲線 y = e¡x 上の 3 点 P(0; 1)，Q(t; e¡t )，R(¡t; e¡t ) を通る円を C とする．円 C の半径
r を t の関数とみて r(t) と表すと，r(t) =
である．また，極限 lim r(t) の値は
t!0
である．ただし，e は自然対数の底とする．
(1) AP =
（福岡大学 2015 ）
(2) lim
AP
=
µ
(3) lim
AH
=
µ2
µ!+0
3
1
，ÎBAC = µ とする．また，辺
0 < µ < 1 とする．三角形 ABC において，AB = AC =
µ
AB を (1 ¡ µ) : µ に内分する点を D とする．このとき，以下の問いに答えよ．
ア
µ!+0
(4) lim OD =
µ!+0
sin
ウ
エ
オ
カ
キ
(1) 三角形 BCD の面積を S とする． lim S を求めよ．
µ
イ
である．
である．
である．
である．
（金沢工業大学 2014 ）
µ!+0
(2) lim BC を求めよ．
µ!+0
(3) lim CD を求めよ．
µ!+0
（甲南大学 2015 ）
¼
で与えられる数列 fan g について，次の問いに答えなさい．
2n+1
2 tan µ
(1) 正接の 2 倍角の公式 tan 2µ =
を用いて，数列 fan g の漸化式を求めなさい．
1 ¡ tan2 µ
an+1
(2) 極限値 lim
を求めなさい．
n!1 an
6
4
® は 0 < ® < ¼ を満たす実数，n; k は正整数として，次の問いに答えよ．
(1) sin
(2)
n
P
k=1
(2k ¡ 1)®
(2k + 1)®
®
k®
sin
を cos
と cos
を用いて表せ．
2n
n
2n
2n
sin
®
k®
と極限値 lim n sin
を求めよ．
n
2n
n!1
(3) 極限値 lim
n
P
n!1 k=1
一般項が an = tan
（山口大学 2014 ）
k®
1
sin
を求めよ．
n
n
（同志社大学 2015 ）

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