0000015454899999 東京理科大学 2012 年第 1 問 1 次の文章中のからアまでに当てはまる数字 0∼9 を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分ラ数として表しなさい． (1) 数列 fan g; fbn g (n = 1; 2; 3; Ý) は次の関係式を満たすとする． W a1 = 0; bn = an+1 このとき，b1 = bn = カ 1 a +1 5 n = 3bn + 2 イで，n ¸ 1 に対して bn+1 = アク ¡ キ (n = 1; 2; 3; Ý) エオとなる．これより， n¡1 コ % ケウ bn + = サ (n ¸ 1) となるので，シ lim bn = ; ス n!1 セ b2n ¡ bn = bn+1 ¡ bn lim n!1 ソとなる。また， 1 P (a2n ¡ an ) = タ n=1 チツテトである． (2) 複素数 z = cos µ + i sin µ (0 · µ < 2¼) に対して，複素数 ! を ! = (4 + 3i)z + 6i z で定める．ただし，i は虚数単位を，z = cos µ ¡ i sin µ は z と共役な複素数を表す．いま z の実部と虚部がともに 0 以上となる範囲で µ を動かす．このとき，! の実部の最大値はあり，!! の最大値はヌネノ，最小値はハヒナ，最小値はニでである．ただし，! は ! と共役な複素数を表す． (3) x > 0 で定義された微分可能な関数 f(x) が， 1 f (x) = 2 log x + 7 ¡ 2e 0 Z e 1 f(t) dt; t f(1) = 0 を満たすとする．ここで，f0 (x) は f(x) の導関数，log は自然対数，e は自然対数の底である．f(x) を求めると， f(x) = フ x log x ¡ ヘホ x+ マミ (x > 0) ¡ となる．関数 f(x) は x = e ¡ モ ¡ e ヤユ + ムメのとき，最小値ヨラをとる。 –2–