0000015454899999 東京理科大学 2012 年 第 1 問 1 次の文章中の から ア までに当てはまる数字 0∼9 を求めて記入せよ.ただし,分数は既約分 ラ 数として表しなさい. (1) 数列 fan g; fbn g (n = 1; 2; 3; Ý) は次の関係式を満たすとする. W a1 = 0; bn = an+1 このとき,b1 = bn = カ 1 a +1 5 n = 3bn + 2 イ で,n ¸ 1 に対して bn+1 = ア ク ¡ キ (n = 1; 2; 3; Ý) エ オ となる.これより, n¡1 コ % ケ ウ bn + = サ (n ¸ 1) となるので, シ lim bn = ; ス n!1 セ b2n ¡ bn = bn+1 ¡ bn lim n!1 ソ となる。また, 1 P (a2n ¡ an ) = タ n=1 チ ツ テ ト である. (2) 複素数 z = cos µ + i sin µ (0 · µ < 2¼) に対して,複素数 ! を ! = (4 + 3i)z + 6i z で定める.ただし,i は虚数単位を,z = cos µ ¡ i sin µ は z と共役な複素数を表す.いま z の実部と虚部 がともに 0 以上となる範囲で µ を動かす.このとき,! の実部の最大値は あり,!! の最大値は ヌ ネ ノ ,最小値は ハ ヒ ナ ,最小値は ニ で である.ただし,! は ! と共役な複 素数を表す. (3) x > 0 で定義された微分可能な関数 f(x) が, 1 f (x) = 2 log x + 7 ¡ 2e 0 Z e 1 f(t) dt; t f(1) = 0 を満たすとする.ここで,f0 (x) は f(x) の導関数,log は自然対数,e は自然対数の底である.f(x) を 求めると, f(x) = フ x log x ¡ ヘ ホ x+ マ ミ (x > 0) ¡ となる.関数 f(x) は x = e ¡ モ ¡ e ヤ ユ + ム メ のとき,最小値 ヨ ラ をとる。 –2–
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