『振動と波動』小テスト

学籍番号
『振動と波動』小テスト
氏
名
評点
【問題】
下図に示すように、摩擦がない床に置かれた 2 つの物体が、バネ 3 本で壁に固定されている。
この 2 自由度系の振動に関して、以下の設問に答えよ。
(1) 一般座標として、図に示すような右向きの変位 x1 ， x2 を用いて、この系の運動エネルギーK とひ
ずみエネルギーV を表せ。
(2) L  K  V とおくとき、減衰のない自由振動に関する一般座標 qi のラグランジュの運動方程式
d  L

dt  qi
 L
0

 qi
 i  1, 2  を用いて、この系の運動方程式を求めよ。なお、運動方程式は、加
速度項の係数で正規化して表せ。
x1
kA
kC
kB
m
【解答】
x2
M
【解答】
1
1
 m  x12   M  x22
2
2
1
1
1
2
2
2
ひずみエネルギー V は、 V   k A  x1   k B   x1  x2    kC  x2
2
2
2
(1) 運動エネルギー K は、 K 
(2) 減衰のない自由振動に関するラグランジュの運動方程式は以下のように示されるので、
L  K  V とすると、
d  L  L
0


dt  qi  qi
 i  1, 2 
一般座標を q1  x1 ， q2  x2 とすると、次のように連立振動方程式が得られる。
d  L  L
x1  k A  x1  kB   x1  x2   0
 0 より、 m  


dt   x1   x1
x1   k A  kB   x1  kB  x2  0
∴ m  
∴ 
x1 
k A  kB
k
 x1  B  x2  0
m
m
d  L  L
x2  kB   x1  x2   kC  x2  0
 0 より、 M  


dt   x2  x2
x2  kB  x1   kB  kC   x2  0
∴ M  
∴ 
x2 
k k
kB
 x1  B C  x2  0
M
M
よって、振動方程式は次のようになる。
k k
k

x1  A B  x1  B  x2  0
 
m
m

k k
k
 
x2  B  x1  B C  x2  0

M
M
x1   k A  k B   x1  k B  x2  0
 m  

x2  k B  x1   k B  kC   x2  0
 M  
 k A  kB
x1   m
1 0   
 
 0 1   

  x2    k B
 M
x1   k A  k B
 m 0   

 
 0 M  

  x2    k B
kB 
m   x1  0 
   
k B  kC   x2  0 
M 

 k B   x1  0 
  
k B  kC   x2  0 

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