4step2-14の解説 - livedoor Blog

　１４二項定理を用いて，次のことを証明せよ。ただし，は以上の整数とする。



　 


 　  のとき　       
     


　のどこが？なのか？なので、予想しながら書いていきます。
まず、の不等式の証明をするために、もととなる”二項定理”を引っぱってきます。
二項定理により　                    ……     …①


これは、良いよね！　しかたないか～ですね。
　①で ， 

この式は　 



とすると　  





      



    ……    



    


 
･  ……  ･  となるので、  ･  以外の





 ･
   


･  ……  ･  の大きさが問題になるわけです。



ここで、   ，

この式は、　 



 であるから，　  のとき　    ……     …◎　




        










……  



の右辺の     ……    



の部分の符号を調べた式です。
そして、この  式◎ の両辺に、      
     

 





を加えると、





＋ 
 ……    ＞　      となります。そして、　を書き直すと
   


      


  ･ 　となって、証明は終わりです。


　①で ，  とすると　                   ……     …②
ここでも、        
分は　 
                
 
 ……   となるので、問題にする部


   
 で、しかも「＝」がついているので  もついてきます。

　 のとき   ，  であるから　    ……      この両辺に　         
を加えると　          ＋    ……    ＞         
よって，②から　               
    
したがって　        


　のとき　②から　                  だから、    までの展開式。書き直して、
    
よって　        


    
，から，  のとき　         



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