第 章 次曲線と 次曲面の 分類 エルミート形式と 次形式 本節においては エルミート形式と 次形式の標準形を与え そ れらの基本性質について考察する 個の複素変数 の関数 をエルミート形式であるという とおくと が成り立つ はエルミート行列で 等式 はエルミート行列であるから 等式 が成り立つ ゆえに 任意の 次元複素数ベクトル は実数である． 次元実数ベクトル と 次実対称行列 を実 次形式であるという これを 略式に こともある 定理 変換 次の に対し に対し，関数 次形式であるという が成り立つ をエルミート形式であるとすると 適当なユニタリ によって， と表される ここで は の実固有値である を 次形式であるとすると 適当な直交変換 によって と表される ここで は の実固有値である 証明 を 次エルミート行列であるとすると 適当なユ ニタリ行列 によって と表される このとき とおけば 等式 が成り立つ が実対称行列であるとき とれば同様に行く 式 の として直交行列 の右辺をそれぞれエルミート形式 の標準形であるという 例 次形式 の標準形を求めよ． 解 上の 次形式 と表される 行列 を用いて は は直交行列 を 次形式 と対角化される この直系行列 準形 を用いて とおけば 標 が得られる エルミート形式あるいは 次形式 が非退化であるという ことは エルミート行列あるいは実対称行列 のどの固有値も で ないことであると定義する 命題 エルミート形式あるいは 次形式 が非退 化であるための必要十分条件は が正則行列であることである エルミート行列 およびエルミート形式 ということは 任意の 次元複素数ベクトル が非負値である に対し 不等式 が成り立つことであると定義する 同様に 実対称行列 および 次形式 が非負値であると いうことは 任意の 次元実数ベクトル に対して 式 が 成り立つことであると定義する エルミート行列 およびエルミート形式 が正値である ということは でない任意の 次元複素数ベクトル に対し 不 等式 が成り立つことであると定義する また 実対称行列 に定義する と 次形式 が正値であることも同様 命題 行列 は 次エルミート行列あるいは 行列であるとする このとき 次の が成り立つ が非負値であるための必要十分条件は 値が非負であることである． が正値であるための必要十分条件は が正であることである 証明 定理 の記号で 任意の 次実対称 のすべての固有 のすべての固有値 に対し 不等式 が成り立つための必要十分条件は 不等式 が成り立つことであるからである． の場合と同様にして証明される 定理 を 次エルミート行列あるいは 対称行列であるとする このとき エルミート形式あるいは 式 が正値であるための必要十分条件は 条件 次実 次形 が成り立つことである． 証明 実対称行列は実エルミート行列であるから エルミート形 式の場合に示せば十分である したがって いま を 次エルミート行列であると仮定する こ のとき 明らかに は実数である ＜必要条件＞ エルミート形式 が正値であると仮定す る 定理 の前に述べたことによって このことは の固有値 がすべて正であることと同値である は正規行列 であるから適当な 次ユニタリ行列 によって対角化される すな わち が成り立つ 両辺の行列式をとって が得られる． が正値であるから を 次に のものに制限して得られるエルミート形式 も正値である ここで の形 とおいた したがって 上に証明したことから が従う 一般に を に制限して得られるエルミート形式 る ここで の形の も正値であ とおいた ゆえに が成り立つ ＜十分条件＞ 逆に 条件 が成り立っていると仮定して エルミート形式 が正値であることを示す これを帰納法を 用いて示す のときは明らかに正しい のとき正しいと仮定して のときを示す そのためには行 列 の固有値がすべて正であることを示せばよい いま， の固 有値 のなかに正でないものがあると仮定する 条件 により であるから は になることはなく 負のものがあ れば少なくとも二つなければならない そこで と仮定しても一般性を失うことはない このとき エルミート形式 は適当なユニタリ変換 によって と表せる いま に対応する で のものがあるとする このとき 必 要条件の証明の所で使った記号を用いて に対し となる これは帰納法の仮定によって が正値であることに矛盾する ゆえに とおくとき 任意に与えられた に対し 方程式 の自明でない解で の形のものが存在するこ とを示せばよい すなわち 連立 次方程式 が自明でない解をもつことを示せばよい 係数の行列を であるとすると ゆえに 解空間の次元は となる ゆえに でない解をもつ であるから 方程式 は自明 次曲線の分類 本節においては 次曲線の分類について考察する 次元ユークリッド空間 における直交座標を の 次方程式 で表される曲線を 次曲線であるという ここで 次曲線の分類を考える いま であるとおくと と書ける 次方程式 は とする また であるとおくと とも書くことができる 直交座標系 から別の直交座標系 への変換 によって 直交座標は次のように変換される 直交座標系の変換に 関しては第 節を参照してもらいたい であるとすると 点 の座標は によって変換される すなわち これは直交座標を用いて と表される．これによって れる 次曲線の方程式は次のように変換さ したがって と書けば，直交座標の変換 は次の 次変換 によって表されるから 次曲面の方程式は と書き変えられる は実対称行列であるから，適当な直交行列 に対し と表せる いま 方程式 と満たす を行うと が存在するとき この と を用いた座標変換 となり を得る のとき すなわち はクラメールの公式によってただ一つの解 より のとき をもつ 式 したがって を得る ゆえに 与えられた方程式は となる のとき すなわち が同符号であれば方程式 に変換される ここで のとき は とおいて 楕円 を得る が異符号のとき 必要とあれば座標軸をとり替え 上 と同様の変換によって 双曲線 を得る 以下場合わけについての式変形の説明は省略する が同符号で がそれらと異符号のとき 虚楕円 を得る のとき となる が同符号のとき 交わる虚の 直線または点楕円 を得る が異符号のとき 交わる 直線 を得る のとき を失うことはない このとき を得る いま 方程式 と仮定しても一般性 が解をもつとき すなわち のときを考えると は に変換される このとき が成り立つことと したがって 次の場合を得る であるから 条件 であることは同値である のとき 次の と を得る が同符号のとき 平行 直線 と が異符号のとき 虚平行 直線 のとき すなわち のとき 重なる 直線 のとき と仮定する 方程式 が解を持たないとき すなわち のとき まず直交変換 を となるように選ぶ いま とおくと を得る したがって ここで， ゆえに でなければならない そこで 座標変換 を行うと を得る ゆえに 放物線 を得る この場合 とおくと であるから によって を得る である 実際 次曲面の分類 次元ユークリッド空間 における直交座標を の 次方程式 とする で表される曲面を とおくと 式 次曲面であるという は と書ける また とおくと 式 と とも書くことができる は である 次曲面の分類を考える 直交座標系 から別の直交座標系 へ の変換によって直交座標は次のように変換される 直交座標の変換 に関しては第 節を参照してもらいたい であるとすると 点 の座標は によって変換される すなわち 直交座標によって表すとき 点 座標は によって変換される これによって 変換される したがって の 次曲面の方程式は次のように と書けば 点 の座標の変換 と座標変換 は同値であるから と表せる は実対称行列であるから 適当な直交行列 に対し と表せる いま 方程式 を満たす を行うと が存在するとき この と を用いた座標変換 となり を得る のとき すなわち のとき はクラメールの公式によってただ一つの解をもつ 式 より したがって を得る ゆえに 与えられた方程式は となる に変換される ここで のとき すなわち が同符号のとき 式 のとき 次を得る は とおいて 実楕円面 を得る 実楕円面を略式に楕円面ということがある のうち二つが と同符号で残りが異符号のと き 必要とあれば座標軸をとり変えることにより 葉双曲面 を得る 以後 座標軸のとり変えに関する注意は省略する のうち二つが と異符号で残りが同符号の とき 葉双曲面 を得る は同符号で と異符号のとき 虚楕円面 を得る 得る のとき したがって のとき 次を のうち二つが同符号で 残りがそれらと異符号の とき 次錐面 が同符号のとき 虚 次錐面または点楕円面 のとき 性を失うことはない このとき を得る いま 方程式 が解をもつとき すなわち のときを考えると は に変換される このとき であることと たがって 次の場合を得る と仮定しても一般 であるから であることは同値である し のとき 次を得る と が同符号のとき 楕円柱面 と が異符号のとき 双曲柱面 と が同符号で と異符号のとき 虚楕円柱面 のとき すなわち と のとき 次を得る が同符号のとき 虚の交わる 平面 と が異符号のとき 交わる 平面 のとき と仮定する こ のとき を得る いま 方程式 が解をもつとき すなわち のときを考えると は に変換される このとき と同様にして であ であることは同値である したがって 次を ることと 得る のとき 次を得る と が異符号のとき 虚の平行 平面 と が同符号のとき 平行 平面 のとき すなわち のとき 次を得る 重なる 平面 次に方程式 このとき を満たす であるから が存在しないときを考える の二つの場合がある．いま， を対角化する直交行列 標変換 を行うと と書ける をとり，座 とき 方程式は のとき と仮定する この と表せる であるから でなければならない したがって 座標変換 によって方程式は に変換される ゆえに 次が得られる と が同符号のとき 楕円放物面 と が異符号のとき 双曲放物面 これらの場合 であるから 程式は である のとき と仮定する 方 と表せる であるから でなければならない このとき なる でない実数であるとすると を を満たす が存在する 直交行列 によって座標変換 を行うと 式 は に変換される もう一度座標変換 を行うと 方程式は に変換される ゆえに次を得る 方程式 放物柱面 と表される この場合 であるから である 以上で 次曲面のすべての型が求められたが の場合の 個 から までの の型の 次曲面は有心 次曲面であるといい 場合の 個の型の 次曲面は無心 次曲面であるということがあ る また の場合と の場合の 個の型の 次曲面は非退化 次曲面あるいは固有 次曲面であるといい 残りの 個の型の 次曲面は退化 次曲面であるということがある
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