5. 複素微分一般に，複素変数，複素数値の関数のことを ← 関数 f (z) の

5. 複素微分
一般に，複素変数，複素数値の関数のことを
複素関数とよぶ。
← 関数 f ( z ) の場合でいえば
「複素変数」… z が複素数
「複素数値」… f (z ) が複素数
f ( z ) が複素数 α (アルファ）の近くで定義された複素関数であって，
f (α+h)− f (α)
f ' ( α) = lim
h →0
h
※ h→0 は |h|→0 を意味する。
が存在するとき，
一般に z → z' は |z － z'| → 0
f (z ) は z=α において複素微分可能
を意味する。
であるといい， f ' (α) を微分係数という。
f (α+h)− f (α)
という式の意味は，
h →0
h
「 h が 0 に近づくかぎり，どんな近づき方をしても
f (α+h)− f (α)
は 1 つの極限 f ' (α) に近づく」
h
ということである。
(注意) f ' (α) = lim
例題 5.1
複素関数 f ( z )=z 2 は任意の複素数 α において複素微分可能であることを確かめよ。
また， z=α における微分係数を求めよ。
(指針) 定義に忠実に行えばよい。実数の f (x )=x 2 の場合と何も変わらない。
(解) α を任意の複素数とする。複素数 h に対し
2
2
2
f (α+h)− f (α) (α+h) −α
2 α h+h
=
=
= 2 α+h
h
h
h
この値は h → 0 とするとき 2 α に収束する。
ゆえに f (z ) は z=α において複素微分可能であり，微分係数は 2 α である。
例題 5.2
複素関数 f (z )=x 2 + y 2 ( z= x+ y i )，複素数 α=a+b i に対して
f (α+ϵ)− f (α)
f (α+ϵi)− f (α)
(1) 実数 ϵ (イプシロン)に対して
と
の値を考え，
ϵ
ϵi
ϵ → 0 とするときの極限を調べよ。
(2) α≠0 とする。 f (z ) は z=α において複素微分可能で
あるといえるか。
(解)(1) 実数 ϵ に対して， α+ϵ と α+ϵi を標準形で表すと
それぞれ α+ϵ=(a+ϵ)+b i , α+ϵi=a+(b+ϵ)i であるから
f (α+ϵ)− f (α) {(a+ϵ)2+b 2 }−(a 2+b 2) (a+ϵ)2−a 2
=
=
= 2 a+ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
2
2
2
2
2
2
f (α+ϵi)− f (α) {a +(b+ϵ) }−(a +b ) ( b+ϵ) −b
=
=
ϵi
ϵi
ϵi
2 b+ϵ
1
=
= −(2 b+ϵ)i
← =−i
i
i
・
α
α+εi
・　・
α+ε
したがって ϵ → 0 のとき，それぞれ 2 a および −2 b i に収束する。
(2) (1)において ϵ→ 0 , ϵi → 0 であるから，もし複素微分可能であるならば
2 つの値は共通の極限値に近づかなければならない。
ところが a=b=0 ではないから 2 a≠−2 b i となり，
← 2 a =2 a+ 0 i
−2 b i = 0 −2 b i
(1)の 2 つの極限値が異なる。
ゆえに，複素数の h に関して極限をとるときは
f (α+h)− f ( α)
lim
は存在しない。
h→0
h
したがって f (z ) は z=α において複素微分可能でない。
※ ほかにも，Re(z) = x , Im(z) = y , z = x－ i y などは複素微分可能でない。
（複素微分の基本的な公式）
次の公式は，実数の場合とまったく同様に確かめられる。
[1] 複素関数 f (z ) , g ( z) が z=α において複素微分可能であるとき，
(a) h= f ±g のとき h ' (α)= f ' (α)±g ' (α)
h=c f のとき h ' (α)=c f ' (α)
( c は複素数の定数 )
(b) h= f g のとき h ' (α)= f ' (α) g ( α)+ f (α) g ' (α)
(c) h=
f ' (α) g (α)− f ( α) g ' ( α)
f
のとき h ' (α)=
（ただし g (α)≠0 とする）
g
g (α)2
特に h=
f ' ( α)
1
のとき h ' (α)=−
（ただし f (α)≠0 とする）
f
f (α)2
[2] k を整数とするとき
(d) 複素関数 f (z )=z k に対して f ' ( α)=k α k−1 ( k <0 の場合は α≠0 とする)
[3] 複素関数 f (z ) が z=α において，また g ( w) が w= f (α) において，
それぞれ複素微分可能であるとき
(e) h( z )=g ( f ( z)) とおけば h ' (α) = g ' ( f (α)) f ' (α) (合成関数の微分法則)
(例) h( z )={ f (z )}k のとき， g (w)=w k として(d), (e)を適用すれば，
（ただし細かい条件は省略する）
h ' (α)=k { f (α)}k−1 f ' (α)
例題 5.3
複素関数 f (z ) が z=α において複素微分可能でかつ f (α)≠0 であるとき，
1
複素関数 g (z )=
が z=α において複素微分可能であることを確かめ，
f (z)
微分係数を求めよ。
(解)複素数 h に対して
g (α+h)− g (α) 1
1
1
1 f ( α)− f (α+h)
= (
−
)=
h
h f (α+h) f (α)
h f ( α+h) f (α)
f (α+h)− f (α)
1
h
f (α+h) f (α)
f (α+h)− f (α)
h → 0 とすると
→ f ' ( α) , f (α+h)→ f (α) であるから，
h
g (α+h)− g (α)
f ' (α)
→−
h
f (α)2
f ' (α)
したがって g (z ) は z=α において複素微分可能で， g ' (α) = −
.
f (α)2
=−

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