直交多項式 に対し 実数値関数列 または多項式列 となるとき を における直交関数列 直交多項式 という とくに のとき正規直交列という 例 の多項式 は における直交多項式である 証明 とおく ここで に注意する のとき 部分積分を用いると となる ここで二項定理より であるから となる のときは 前と同様に部分積分を使って であるから となる その他の直交多項式 名称 記号 式 ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½¾ 区間 ノルム 直交系と微分方程式 の微分方程式 は負でない整数 の解は の多項式 で与えられる の微分方程式 は負でない整数 の解は の多項式 で与えられる 系 微分方程式 ¼ ¼ ¼ を考える このような微分方程式の解を見つけることを !! 系の境 界値問題という ここで作用素 を ¼ ¼ とすれば は と書ける が 以外の解を持つとき を の固有値 そのときの解 を固有値 に対する固有関数という 例 ¼¼ このとき " のとき の一般解は Ô Ô となる 境界条件より となるので は固有値でない # のとき の一般解は となる 境界条件より となるので は固有値でない $ のとき の一般解は % となる 境界条件より % となるので $% のときに限り固有関数 % が存在する 一般に !! 型の境界値問題に対して以下の定理がなりたつ 定理 のある固有値に対して可算無限個の固有値を持つ 定理 の異なる固有値に対する固有関数は互いに直交する &
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