第10回像と逆像と全単射

第 10 回像と逆像と全単射
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問 1. f : R → R を f (x) = x2 + 1 とするとき次の問に答えよ.
(1) 逆写像 f −1 : R → R が存在すれば求めよ.
存在しない ( 全単射ではない )
(2) f −1 ({1, 3}), f −1 (a), f −1 ([0, 1]) を求めよ.
f −1 ({1, 3}) = {0, ±,
√
2},
{ √
{± a − 1}
f −1 (a) =
∅
(a − 1 ≥ 0)
,
(a − 1 < 0)
f −1 ([0, 1]) = {0}.
問 2. A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, C = {α, β, γ} とする.
f1 : A → B を f1 (1) = b, f1 (2) = b, f1 (3) = a で
f2 : A → B を f2 (1) = a, f2 (2) = b, f2 (3) = c で
g1 : B → C を g1 (a) = α, g1 (b) = γ, g1 (c) = γ, g1 (d) = β
g2 : B → C を g2 (a) = β, g2 (b) = γ, g2 (c) = β, g2 (d) = α で
h1 : C → A を h1 (α) = 2, h1 (β) = 1, h1 (γ) = 1 で
h2 : C → A を h2 (α) = 3, h2 (β) = 1, h2 (γ) = 2 でそれぞれ定義する. このとき, 以下の問に答えよ.
(1) (h1 ◦ g1 ◦ f1 )(1), (h2 ◦ g2 ◦ f2 )(2), (h2 ◦ g1 ◦ f2 )(3) を求めよ.
(h1 ◦ g1 ◦ f1 )(1) = 1,
(2) f2 ({1, 2})
(3) (g2 ◦ f1 )(A)
(4)
f2−1 ({a, b})
(5) g2−1 (C)
(6) (h2 ◦ g2 )−1 ({2})
(h2 ◦ g2 ◦ f2 )(2) = 2,
f2 ({1, 2}) = {a, b}.
(g2 ◦ f1 )(A) = {β, γ}.
f2−1 ({a, b}) = {1, 2}
g2−1 (C) = B
(h2 ◦ g2 )−1 ({2}) = {b}.
(h2 ◦ g1 ◦ f2 )(3) = 2.
問 3. A := {1, 2, 3} と B := {a, b, c} の間の全単射をすべて記述せよ．
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
,
,
,
,
,
a b c
a c b
b a c
c b a
b c a
(
1 2 3
)
c a b
の6個
問 4. 以下の集合間に全単射を具体的に構成せよ．以下では a, b ∈ R (a < b) とする．
(1) N \ {1, 2, 3} と N．
f : N \ {1, 2, 3} → N,
n 7→ n − 3,
g : N → N \ {1, 2, 3},
n 7→ n + 3.
とすると f ◦ g = idN と g ◦ f = idN\{1,2,3} をみたすので f は全単射．
(2) (0, 1) と (a, b)
写像 f : (0, 1) → (a, b), g : (a, b) → (0, 1) を f (x) := (b − a)x + a, g(y) =
このとき f ◦ g(y) = y, g ◦ f (x) = x であるので f は全単射となる．
1
(y
b−a
− a) と定める．
(3) (0, 1) と (a, ∞)
1
写像 f : [0, 1) → [a, ∞) を f (x) = 1−x
+ a − 1 と定義すると f は全単射になる．実際 f (x1 ) = f (x2 )
とすると
1
1
+a−1=
+a−1
1 − x1
1 − x2
であるからこれを整理すると x1 = x2 となる．よって単射である．次に全射を示す．任意に y ∈ (a, ∞)
1
1
をとる．このとき y = 1−x
+a−1 となるような x ∈ [0, 1) を見つければよい．そのために y = 1−x
+a−1
を x について解くと
y−a
x=
y−a+1
となり簡単な計算により x ∈ [0, 1) であることと y = f (x) であることがわかるので f は全射である．
(4) [0, 1) と (0, 1]
写像 f : [0, 1) → (0, 1] を f (x) = 1 − x とすると明らかに f は全単射である．
(5) N と Z
写像 f : N → Z を
 x

 2
f (x) =

1 − x
2
x: 偶数
x: 奇数
とすると f は全単射である．(頑張って確認してみてください．
)
2
2
2
2
(6) C1 = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = a2 } と C2 = { (x,
( y) ∈ R) | x + y =(b } )
a a
b b
x, y , g(x, y) =
x, y と定義すると
写像 f : C1 → C2 , g : C2 → C1 を f (x, y) =
a a
b b
f ◦ g = idC2 , g ◦ f = idC1 となる．

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